Octava sesión (13 mayo 2010)
Matemáticas del infinito

• Impares y naturales. ¿Qúe hay más, números naturales (1, 2, 3, ... ) o impares (1, 3, 5, 7,... )? Respuesta: lo mismo.
• Racionales y naturales. Los números racionales son las fracciones, los números que se pueden escribir de la forma a/b ,con a y b enteros; por ejemplo: 1/2, 5, 0, -3/5, etc...¿Qúe hay más, números racionales o naturales? Respuesta: lo mismo.
• Reales y naturales. Los números reales son "todos lo números", o sea los que tienen desarrollo decimal arbitrario a₀.a₁a₂a₃... (el a₀ es un número entero y los a₁, a₂, a₃... son cifras decimales, cada una entre 0 y 9). ¿Qúe hay más, números reales o naturales? Respuesta: ¡Hay más reales que naturales!

  El primero en demostrarlo fue Cantor con un método muy simple y elegante ("el método del diagonal").

  Veamos que no puede haber la misma cantidad. En caso que sí, entonces tendremos a todos los reales en una lista:

  a₀.a₁a₂a₃...
  b₀.b₁b₂b₃...
  c₀.c₁c₂c₃....
  .
  .
  . Ahora construimos un número real r₀.r₁r₂r₃... que no está en la lista: escojemos r₀ distinto de a₀, r₁ distinto de b₁, r₂ distinto de c₂, etc. Entonces este numero no esta en la lista.

• Suma infinita. Una persona llega a una tienda y pide un vaso de jugo. Llega otra persona y pide medio vaso de jugo. El siguiente pide 1/4 de vaso. Etc (cada persona nueva que llegqa pide la mitad de lo que pidio la anterior). Despues de haber servido a todas las personas (una infinidad de ellas), ¿cuántos vasos de jugo usó la tienda? Respuesta: 2.
• 1 + x + x² + x³ + ... = 1/(1 - x) para -1< x < 1
• Producto infinito:
  
• Fracciones infinitas:
  

• Área de un disco:
  
• Volumen y area de superficie de una esfera:
  
• El fractal de Koch: es una figura parecida a un copo de nieve. Tiene área finito pero circunferencia (longitud del perímetro) infinita. Se obtiene por la iel siguiente proceso infinito: iniciamos con un triángulo equilátero de lado 1, dividimos cada uno de sus 3 lados en tres segmentos iguales, usamos el segmento de enmedio como base de un triángulo equilatero apuntando hacia al exterior y borramos su base. Obtenemos así un polígono con 12 lados. Luego repetimos el proceso para cada uno de los 12 lados del polígono. Repetiendo este proceso infinidad de veces lo que queda es el fractal de Koch (también llamado el copo de nieve de Koch). Aquí están los primeros 6 pasos de la construcción.
  
  Área y longitud: si el área inicial es 1, el área de la figura final es 8/5. Sin embargo, el prímetro en el paso n es de 3(4/3)ⁿ veces el perímetro inicial, así que cuando n crece a infinito el prímetro también. Es decir, el fractal de Koch tiene área finita pero prímetro infinito.
• Geometría proyectiva: en geometría estamos acostumbrados a que dos rectas en el plano típicamente se intersectan, pero hay una excepción: pueden ser paralelas. Agregamos a cada familia de rectas paralelas "un punto en el infinito" (en la dirección comun de la familia). Estos puntos nuevos en el infinito forman "la recta al infinito". La geometría de este plano extendido (el plano usual más la recta en el infinito) se llama geometría proyectiva.