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          La matemática es un oficio que todos podemos aprender *

                       Adolfo Sánchez Valenzuela

                   * {\it a la memoria de mi padre}

              Centro de Investigación en Matemáticas A.C.
                        Callejón de Jalisco s/n
                      Valenciana, Guanajuato, Gto.
                            CP 36240 México
                       e-mail: adolfo@cimat.mx


Con el propósito de promover la licenciatura en matemáticas de la 
Universidad de Guanajuato, he tenido ocasión de dar varias charlas a
alumnos de bachillerato con la consigna de motivarlos para el estudio de
las  matemáticas. Entre las preguntas que hay que estar preparado para
responder en una charla de ese tipo están las siguientes: ¿Qué hace un
matemático? ¿Qué significa dedicarse profesionalmente a las matemáticas?
¿Cómo describiría un matemático su trabajo y cómo lo compararía con otros
trabajos? Me he podido dar cuenta de que no es del todo sencillo pararse
frente a un grupo de preparatorianos a hablar de la "asignatura tabú" y
transmitir lo maravilloso y apasionante del tema. ¿Cómo puede uno 
explicarle a un alumno de preparatoria en qué consiste el trabajo de un
matemático y hacerlo con absoluta transparencia y sencillez; sin
intimidarlo, sin ahuyentarlo, sin provocar que desconecte sus sentidos del
resto de su ser y terminemos sólo viendo como nos asiente con la cabeza
por mero compromiso? ¿Cómo hacer que él pueda llevarse una respuesta
concreta y descriptiva de las preguntas planteadas? En pocas palabras:
¿cómo transmitir motivación?

Mi propósito en este ensayo es comparar la actividad de un matemático con
otros quehaceres humanos; deseo establecer relaciones entre la matemática 
y la poesía, y la carpintería, y la música, y la pintura. Trataré de
evidenciar esas ideas hablando de artesanía y matemáticas; de estados de
ánimo y conjeturas; de sentimientos y teoremas. Las principales posiciones 
que me propongo exponer (¿defender?) son las siguientes: 1) Que el ser
matemático es un oficio que se puede aprender como el oficio de la
carpintería, o de la pintura. 2) Que hacer investigación científica dentro
del terreno de la matemática es comparable, por un lado, al trabajo de un
artesano en cuanto a la minuciosidad con la que hay que cuidar los
detalles finos y, por otro lado, comparable al trabajo de un poeta al
escribir poesía o al de un músico al componer una sinfonía en cuanto a la
creatividad. 3) Que definitivamente sí hay detrás de los enunciados de
muchos teoremas una buena cantidad de sentimientos y pasiones profundas, o
por lo menos, reflejos muy elocuentes de la personalidad de los -¿cómo les
podríamos llamar?, ¿autores?, ¿compositores?, ¿demostradores?-
¿descubridores? de dichos teoremas.

                             * * * * * * *

En 1973, cuando estaba en el segundo año de la preparatoria, acudí por
recomendación de Memo Portillo, mi mejor amigo de la prepa, a una 
institución de la Ciduad de México dedicada a hacer exámenes de orientación
vocacional. Había que someterse a varias pruebas psicométricas durante
tres días consecutivos y esperar unos pocos días más para conocer los
resultados en una entrevista con la psicóloga del programa. El día que fui
por mis resultados iba confiado en que que me dirían lo que yo quería
escuchar. En ese entonces yo pensaba dedicarme a la ingeniería civil; de
hecho, ya tenía trazado un futuro como ingeniero. Mi padre (un ingeniero
civil) me había conseguido un trabajo de dibujante en la empresa
Ingenieros Civiles Asociados. Pero aquel día la psicóloga me dijo que los
{\it tests} habían puesto de manifiesto que yo no tenía aptitudes para
carrera alguna que tuviera que ver con las matemáticas. Que yo podía ser 
un abogado, o un trabajador social, o un psicólogo; que definitiavmente yo
debía emprender una carrera humanística, aunque no precisamente - dijo -
letras, ni filosofía. {\it ¿Podría ser músico?}, pensé tímidamente dándome
en ese instante por derrotado para la ingeniería. Pero recuperé el aliento
como pude y le dije que eso no podía ser. Alegué que quien explicaba los
problemas de matemáticas a mis compañeros de la prepa era yo y que mis
calificaciones en matemáticas habían sido excelentes toda la vida. Su
sugerencia entonces fue que yo me sometiera a una serie de pruebas
adicionales para estar seguros.

Salí destrozado de ese lugar. ¿Cómo podía ser posible?- me preguntaba. A
Memo le habían resultado muy provechosos los mismos exámenes y le habían
dicho que iba sobre el camino correcto: la música. A mí, en cambio, me
estaban diciendo que iba tras la carrera equivocada y, además, el viraje
que había que hacer para estar en armonía con mis aptitudes era de 180
grados. No sé de dónde saqué valor para presentarme a aquellos {\it tests}
especiales de matemáticas, pero justo después de la primera prueba ya no
tuve coraje alguno para ir a los siguientes. Uno sabe cuando uno sale mal
en un examen y en aquel primero yo sentí que mi desempeño había sido
bastante mediocre. Casi todas las preguntas eran contra reloj y yo no tuve
tiempo suficiente para contestar a ninguna de ellas. Ya no volví jamás a
aquel lugar y preferí mejor ya no darme permiso de escuchar el final de
esa historia por boca de la psicóloga.

Al poco tiempo estaba yo, junto con Memo, haciendo un examen de admisión 
para ingresar a la Escuela Nacional de Música. Para preparar el examen de
admisión tuvimos que empezar por aprender un poco de solfeo. Ninguno de
los dos sabíamos leer las notas en un pentagrama. Un viejo amigo de la
secundaria que tocaba el violín desde que era niño nos preparó para el
examen introduciéndonos al fascinante mundo del solfeo. Un día me llamó
Memo muy emocionado para decirme que había ido a buscar los resultados del
examen de admisión y que él había sido admitido para estudiar flauta. Sin
embargo, me dijo también, con cierto pesar, que yo había sido rechazado.

En el tercer año de la preparatoria decreté para mis adentros que los
psicólogos se habían equivocado: que mi futuro sí era la ingeniería y que
yo debía apuntar mi vida directo hacia allá. Pero un buen día, nuestro
profesor de física, Mario Cruz Terán, se salió del guión en su clase y se
puso a hablar sobre la paradoja de los gemelos planteada por la teoría de
la relatividad de Einstein. Aquella sola clase fue detonante para mí. 
{\it ¡Eso es lo que yo quiero estudiar!} - me dije. ¡Ciencia! ¡Física! 
Y en aquel momento decidí el camino hacia la ingeniería y emprender uno
completamente nuevo y, quizá ahora sí, uno propio.

En 1975 ingresé a la Facultad de Ciencias de la UNAM para estudiar la 
carrera de física. Ahí tuve oportunidad de ver cómo, casi todos mis
compañeros hablaban con mucha propiedad y facilidad acerca de los
conceptos de la física. Ahí entendí por primera vez el significado de la
palabra vocación. El primer amigo que tuve en la facultad fue Ernesto
Rivera, quien podía resolver con un ingenio enorme {\it todos} los
problemas que nos dejaban en el curso de física general del primer
semestre. Un día lo pasó el profesor al pizarrón para que nos explicara a
todos cómo es que él había conseguido resolver cierto problema de
gravitación. Ernesto escribió con soltura y rapidez sobre el pizarrón y al
cabo de muy poco tiempo el maestro lo detuvo diciéndole {\it ¡momento que
soy lento!} Ernesto era sin duda brillante y talentoso, pero estuvo menos
de un año en la Facultad de Ciencias; consiguió una beca y prefirió irse a
estudiar a Alemania. 

Una aptitud semejante la encontré en otro amigo entrañable: Gustavo 
Espinosa. En el segundo semestre de la carrera llevamos un curso de
mecánica clásica donde debíamos resolver problemas cada semana y él podía
bosquejar la solución en su cabeza - ¡sin tener la necesidad de escribir
las ecuaciones! - mientras hilaba varias carambolas en la mesa de billar
que tenía en su casa. Yo me pasaba la mayor parte del tiempo sentado por
un lado de la mesa de billar, anotando lo que Gustavo decía acerca de la
solución de los problemas. Para ello tenía un cuaderno que en lugar de
"Mecánica" debió tener en la portada el nombre de "Gustavo"; era el
cuaderno que siempre llevaba a su casa cuando él y yo "jugábamos" billar.
Tras tomar nota, yo trataba de llenar los detalles, resolver las
ecuaciones y poner todo en orden, pero lo impresionante era que los
problemas salían como las carambolas: por donde Gustavo los veía y como
él decía que iban a salir.

Años más adelante, para mi gran fortuna fui admitido al doctorado en el
departamento de matemáticas de Harvard y ahí me encontré con muchos
chicos como Ernesto y Gustavo: con matemática dentro de su DNA, con gran
habilidad para resolver problemas, con mucho ingenio para demostrar
proposiciones, con gran aplomo para sostener discusiones con los
profesores, con una enorme capacidad para argumentar y exponer con soltura
sus ideas y con la claridad necesaria para transmitir las "imágenes"
formadas en sus cerebros aún tratándose de conceptos sumamente abstractos.
¡Sí! En Harvard había muchos estudiantes que eran así.

                             * * * * * * *

Hoy me digo a mí mismo que lo que tenían en común todos ellos era que
brillaban sus rostros de emoción al hablar de física o de matemáticas.
Los problemas de tarea nunca eran para padecerlos, no se sentían jamás
agobiados por ellos, sino todo lo contrario: los disfrutaban y gozaban al
máximo. Por lo demás, pienso que casi todos (y la única razón por la que
no digo {\it todos} es por culpa de uno o dos {\it virtuosos} que "ví
pasar"), eran personas completamente normales. Por ejemplo, los amigos que
mencioné tenían y padecían problemas personales normales, diría yo, de los
que todos tenemos; provenían de familias más o menos comunes y corrientes
para los estándares de los estudiantes universitarios; eran gente igual a
toda la gente y lo único que sucedió en el caso de cada uno de ellos fue
que desde antes de ingresar a la facultad ya habían leído, estudiado,
practicado, indagado, etc., acerca de algunos temas de matemáticas y
física. ¿Por qué tenían este cúmulo de experiencias previas? Quizá sólo
porque les gustó, lo reconocieron para sí mismos y tuvieron la voluntad de
estudiar y aprender antes que esperar a entrar a una facultad. Lo hicieron
quizá desde que eran niños y conjeturo que la característica común y
fundamental fue que nunca eludieron el desafío que les imponía ver un
problema sin intentar, por ellos mismos, darle solución.

¿Pero no es acaso esto muy similar a lo que sucede con los chicos que 
estudian música, o pintura? Hay padres que llevan a sus hijos a tomar
clases de piano desde que éstos son muy pequeños. Y entonces, el ejecutar
una obra al piano, el desarrollar gusto y sensibilidad por la música, el
aprender a leer las notas, etc., son habilidades que, por haber sido
estimuladas intensamente con método y disciplina desde una edad temprana,
se manifiestan más adelante ante los ojos de quienes no tuvieron este tipo
de formación como un {\it talento especial.} ¿Cuántos niños tienen la
oportunidad de tomar clases de música? (piénsese también en las clases de
inglés y de natación, que tienen tanta popularidad). Y a manera de
contraste, ¿cuántos niños tienen una estimulación temprana en las ciencias
y cuándo ha sido ésta fomentada por sus padres? Hace muchos años conocí a
un niño que me decía con mucha desesperación y frustración que él no
entendía por qué a sus padres no les gustaba que él aprendiera cosas
interesantes, a lo que yo le pregunté: {\it ¿por qué piensas que ellos no
quieren que tú aprendas cosas interesantes?} y su respuesta fue que porque
a él le gustaba pedir como regalo de cumpleaños, o de navidad, libros; en
particular, ¡libros de paleontología, de aviones, de astronomía! y que lo
que le decían sus padres era: {\it ¿para qué quieres tener tantos libros?}

Afortunadamente, la voluntad del niño fue lo suficientemente grande para
conseguir satisfacer su deseo de aprender y de leer los libros que quería
leer. Sin embargo, no puedo dejar de notar la gran diferencia que hay 
entre este niño, que muy bien pudo haber sido el hijo de Homer Simpson y,
digamos, Richard Feynman (Premio Nobel de física en 1965), quien en una
entrevista que concedió para la televisión pública de Estados Unidos al
inicio de la década de los ochenta, contó que su padre le leía muchos
libros de ciencias desde que él era muy pequeño y que además lo hizo con
gran sabiduría porque le enseñó a comparar unas cosas con otras y a
entender el significado de los números. El ejemplo que daba era que cuando
su padre leía de un libro que el Tiranosaurio Rex medía hasta seis metros
de altura, éste hacía una pausa y le preguntaba a su hijo: {\it ¿Sabes lo
que esto significa? Significa que si el animal estuviera parado aquí en el
jardín y te asomaras por esta ventana del segundo piso, tendrías aún
que voltear un poco más hacia arriba tu cabeza para ver hasta dónde llega y
comprobarías que su cabeza estaría un poco más arriba que la chimenea.}
Hasta donde recuerdo de aquella entrevista y hasta donde recuerdo de su
libro ({\it Surely you're joking Mr. Feynman!}), él no menciona haber
tomado clases de piano, ni de natación, ni de pintura. Sólo recuerdo
haberlo visto en la televisión hablar muy emocionado de ciencias y de las
cosas que su padre le enseñó respecto a ellas. Con estos antecedentes ¿Nos
puede sorprender mucho que Feynman haya recibido el Premio Nobel de física?

                             * * * * * * *

Imaginemos una fiesta de jóvenes bachilleres: hay música muy bailable, 
ruido, risas, relajo y buen ambiente. Por allá en un rincón hay un chico
que se ve un poco tímido frente a una linda muchacha que comienza a
hacerle plática: {\it ¿Y a tí que materia te gusta más?} -pregunta la
chica y él responde: {\it Matemáticas,...} (no debe costarnos trabajo
imaginar el brillo en sus ojos al responder). {\it ¡Uy! ¡Has de ser un
geniecito! ¿No? Y ¿qué quieres estudiar después?} -{\it ¡Matemáticas!}
responde nuevamente él. {\it ¡Qué padre!} dice la chica con un tono que
marca de facto el fin de la conversación. Interviene un gran silencio (el
típico silencio después del típico tono de exclamación) y la chica dice:
{\it Bueno, yo quiero bailar ¡Nos vemos después! ¿eh?} y se va a buscar
con quien bailar aunque en realidad parece huir. Esta historia es típica.
Es muy posible que al chico le gustara bailar y que sólo estuviera
esperando una oportunidad para hacerlo. El habría bailado gustoso con
ella, pero la conversación tomó demasiado pronto un rumbo muy escabroso.
Podían haber platicado de muchas otras cosas, pero,... ¿Por qué es tan
complicado continuar una conversación que ha empezado así? ¿Por qué es tan
raro que a alguien le gusten las matemáticas? ¡A uno le pueden gustar y no
saber nada de ellas! Es como cuando nos gusta la música y no sabemos gran
cosa de música. No es difícil imaginar que, en la misma fiesta, la chica
que abandonó en el rincón al "matematiquito", se incorpore a un grupo
donde alguien habla sobre la discografía de un grupo de rock muy popular y
de pronto alguien más hace el comentario de que la pieza fulana estaba
inspirada en uno de los conciertos de Brandemburgo de J.S. Bach. Y
entonces la plática se orienta hacia Bach y luego hacia la música clásica
y alguien en el grupo puede decir que la música clásica le fascina; que
siempre trae sintonizada la estación de radio de música clásica en su
automóvil. ¿Por qué no podemos hablar igual -con la misma soltura y con la
misma ligereza- acerca de las matemáticas? ¿Cuál sería una manifestación
análoga en el contexto de la fiesta que imaginamos? Quizá que justo cuando
la chica hizo la pregunta {\it ¿Y a ti, que materia te gusta más?}, y se
oyera por respuesta {\it las matemáticas}, alguien que pasara cerca dijera
con emoción: {\it ¡Ah! a mí también me encantan las matemáticas. Yo
siempre compro la revista "Muy Interesante" sólo para leer la sección "el
rincón del teorema"}.

En la misma fiesta podemos imaginar a otro grupo de chicos y chicas 
hojeando un libro con fotografías del {\it Louvre} con el que se toparon
en un librero de la casa. Y al mirar las fotografías de un libro así están
a la merced de sus sentidos; como al leer un poema. ¿Como al mirar las
ecuaciones de un libro de matemáticas? Hay pinturas que nos conmueven; hay
poemas que nos emocionan y hay símbolos matemáticos y ecuaciones que nos
seducen e invitan a entender de lo que tratan.

Dentro de la matemática hay varios {\it géneros}: álgebra, análisis,
geometría, computación, estadística, etc. Al hojear (y ojear) un libro de
matemáticas uno puede sentirse atraído o repelido por la sola apariencia
de las ecuaciones que en él se encuentran. Muchas veces he tenido alumnos
que no tienen muy claro cuál de varios temas les gusta más como para
embarcarse en la aventura de escribir una tesis de licenciatura y lo que
hago es "recetarles" una lista de varios libros con la "prescripción" de
que los hojeen y se dejen seducir o distanciar por la sola apariencia de
las ecuaciones: {\it ¿con qué clase de ecuaciones quieren estar
trabajando?} -les pregunto. Y hasta he recomendado literalmente mirar esos
libros como si fueran libros de arte. Lo que intento con ello es apelar a
un cierto gusto y a una cierta preferencia que después de muy poco tiempo
sí se desarrolla en un aprendiz de la matemática (¡como en un aprendiz de
lo que sea!). ¿Podría ser comparable -en cuanto a sensualidad- a los
gustos y preferencias que una persona podría sentir respecto a ciertas
características de otra para buscar compañía, para hacer el amor, para
compartir una vida? En realidad lo que busco con esa prescripción es que
los alumnos {\it sientan} el "flechazo".
           
                             * * * * * * *

Aunque tratemos de ver las cosas con lógica, con rigor, con método, con
objetividad y aunque le tratemos de dar una demostración a todas nuestras
proposiciones, los matemáticos también tenemos intuición, sensaciones y
corazonadas. Tenemos un corazón que se puede romper, un corazón que a 
menudo no entiende las razones de la razón. Con toda la lógica el rigor
del mundo, el corazón nos puede explotar para destrozarse en mil pedazos
cuando ya no le cabe ni una sola gota más de tristeza, o descocierto, o
aflicción; o puede latir con profunda emoción cuando alguien lo acaricia
con bellas palabras, con sentimientos profundos y conmovedores. Sus fibras
pueden vibrar y resonar en armonía cuando puede hablar con alguien que
habla el mismo lenguaje. Por ejemplo, cuando habla de amor, o cuando habla
de matemáticas. ¡Cierto! Son tipos de vibración muy distintos, pero son
vibraciones bellas. Es como cuando se emocionan hasta el éxtasis un
saxofonista, un flautista, un baterista y un pianista al improvisar juntos
y abundar sobre un tema o idea musical; es como cuando en una tertulia
literaria nuestros amigos lloran, ríen y se emocionan mientras leen los
cuentos, o poemas, o fragmentos de ensayos y novelas que han escrito. El
común denominador es que en estas situaciones se habla, se entiende y se
pueden comunicar ideas con un mismo lenguaje. 

En la matemática hay alfabetos y reglas gramaticales que se pueden 
aprender. El conocimiento del lenguaje persigue un fin: dominar la
comunicación y esto, en sí, representa la solución a muchos problemas
inmediatos, entre otras cosas, porque sabremos "pedir lo que necesitamos".
En el amor se aprende a pedir lo que se necesita, en la ejecución musical
se aprende a pedir {\it la primera voz}, en la poesía se aprende a
comunicar una idea o una emoción, en la matemática se aprende a pedir o a
dar una demostración. Pero hay otros usos para el lenguaje. Quizá el
ejemplo con el que estemos más familiarizados sea el del lenguaje escrito:
ahí existe la poesía. La poesía inventa, compone, impacta nuestros sentidos
y nos produce emociones. La poesía crea un mundo que es tangible sólo
desde dentro del universo poético que ella misma ha generado. ¿No es acaso
como la matemática? La matemática también inventa, compone e impresiona y
muchas de sus realidades son tangibles sólo desde dentro de un universo
{\it ad hoc}. Ante esta comparación se puede argumentar que la matemática
está sujeta a una estructura muy rígida y que sus razonamientos están
soldados a una estructura inamovible, pero ¿acaso no se puede decir lo
mismo de la poesía? La poesía misma, con todo y su frescura y su libertad,
también tiene estructuras, también obedece a sus "propias leyes" ({\it
eg,} {\it not law at all!}), también tiene una historia y una teoría -como
la tienen la música, la pintura y la carpintería.

Los matemáticos han usado la lógica como la infraestructura principal que
subyace a todas sus teorías. Pero incluso la lógica misma ha sido estudiada
desde el punto de vista riguroso de la matemática. Los matemáticos se han
dado cuenta de que existen "otras lógicas", de la misma manera que en el
siglo pasado se reconoció que eran posibles "otras geometrías" diferentes
a la de Euclides. ¿Cómo explicarle al no versado qué quiere decir que hay
"otras lógicas"? ¡Hay que darle un ejemplo concreto! Y lo que se viene a
la mente es señalar una de las diferencias fundamentales entre una lógica
y la otra: en la lógica a la que estamos acostumbrados, se pueden
distribuir los conectivos {\it y} y {\it o}, como en la siguiente
proposición: 

                     A y (B o C) = (A y B) o (A y C)

Esto dice que, lógicamente, la proposición del lado izquierdo es la misma 
que la del lado derecho. Por ejemplo:

        Salud y (Dinero o Amor) = (Salud y Dinero) o (Salud y Amor)

Sin embargo, las reglas de la lógica cuántica no permiten, en general,
establecer una equivalencia entre estas dos proposiciones y sólo se puede
afirmar lo siguiente: {\it si Dinero implica Salud, o si Amor implica Salud,
entonces las proposiciones "Salud y (Dinero o Amor)" y "(Salud y Dinero) o 
(Salud y Amor)" son lógicamente equivalentes.} 

Nos preguntamos si, entonces, apreciar estas exquisiteces es semejante a 
apreciar la poesía, o la música, o la pintura. Imaginemos a un músico que
va "leyendo" la partitura de una sinfonía al tiempo que va escuchando una
grabación de la misma. Y detiene la cinta en algún pasaje que le conmueve
muchísimo y lo repite... y lo repite... ¿no es como cuando leemos un poema
y volvemos a leer y cada vez parece que entendemos mejor el mensaje del 
poeta? ¿no es como cuando regresamos sobre las líneas de la demostración
en un teorema? ¡Casi nunca leemos poesía ni matemáticas "de corridito"! De
manera semejante, ir a una conferencia de matemáticas podría ser como ir a
un concierto. Podríamos no toser ni interrumpir. Podríamos sólo escuchar
atónitos, emocionados, pero cuidándonos de no hacer preguntas sino hasta
el final porque así lo pidio el conferencista. Pero hay conferencias que,
al contrario, piden ser interrumpidas y admiten una interacción más
inmediata. Es claro que interactuar directamente con el conferenciante, en
la analogía del concierto, sería como detener al director para que repita
un trozo de la ejecución y volver a entender o a apreciar los que hay en
el fondo de un pasaje de la sinfonía que interpreta. La música nos fluirá
en un concierto, pero no así si la estamos trabajando o si estamos
sintiendo su estructura desde la plataforma de un compositor o de un
crítico. Lo mismo sucede cuando estamos tratando de entender las emociones
y sentimientos que nos trata de comunicar un poeta cuando leemos poesía,...
y lo mismo es cierto al hacer el amor cuando entregamos y recibimos ese
amor en la más delicada y sublime armonía. Y es que cuando la interacción
es intensa y uno está metido de lleno en ella, cuando uno quiere entender,
apreciar, componer, aportar, etc., la obra debe detenerse, el pasaje debe
repetirse, debe repasarse... y hay pasajes donde se puede dejar fluir y
uno puede sólo sentir y emocionarse libremente. Y hay otros donde nuestra
aportación es importante para entender, para sentir mejor, para apreciar
mejor y hay entonces un éxtasis, como al leer un poema, al escuchar un
pasaje musical, al sentirse conmovido por tanto amor y ¿por qué no? al ver
finalmente demostrado un teorema tras el que hemos ido durante una buena
parte de nuestra vida.

                             * * * * * * *

¿Y cómo fue que Usted llegó a Harvard? me preguntó un chico de preparatoria
en una de las conferencias que mencioné. Y después de que algunos de sus
compañeros presentes exclamaron -¡en avión!- y tuvimos un espacio para
reirnos un poco, contesté que por una gran fortuna. Es cierto: durante mis
estudios de licenciatura en física siempre me sentí muy obligado a no
dejar de estudiar intensamente porque desde que ingresé a la facultad me
di cuenta de mi enorme desventaja en cuanto a aptitudes se refiere.
Honestamente, quería estar a la altura de mis amigos. No estar en ese
nivel me parecía, simplemente, no estar haciéndolo bien. Debo reconocer
que mi desempeño en mis primeros exámenes de la facultad, sobre todo los
de los cursos elementales de matemáticas, evidenciaba un entendimiento
bastante mediocre de los conceptos. En los primeros semestres de la
carrera, en el primer examen de cada curso, casi siempre salía muy mal. Lo
que sí sucedía después era que trataba de superarlo y al final siempre
conseguía salir del curso con una buena calificación. Conforme fui
avanzando en la licenciatura, fui desarrollando gusto por la teoría de la
relatividad y fui aprendiendo todo lo que podía para entenderla mejor. Mis
intereses se orientaron entonces hacia la geometría diferencial con el
único propósito de comprender la teoría relativista de la gravitación.
Tuve dos profesores cuyos cursos de geometría diferencial me marcaron
fuertemente: Charles Boyer y Héctor Vázquez Briones. Hubo también dos
libros muy importantes en esta historia con los que yo me ayudaba y
aprendía las lecciones de geometría diferencial: {\it Advanced Calculus}
de L. Loomis y S. Sternberg y {\it Lectures on Differential Geometry} de
S. Sternberg, ambos escritos por profesores del departamento de
matemáticas de Harvard. Hacia el final de la licenciatura yo no soñaba
siquiera que algún día estaría cursando análisis funcional con Lynn
Loomis, ni que estaría escribiendo una tesis doctoral bajo la supervisión
de Shlomo Sternberg. Lo único que me pasaba por la cabeza entre 1978 y
1979 era aprender geometría diferencial para comprender la gravitación y
tratar de conectarme cuanto antes con Jerzy Plebanski quien era, en ese
momento, uno de los personajes más famosos con quien uno podía doctorarse
en México fructíferamente dentro del singular tema. 

En este estadio concluí la licenciatura en física escribiendo una tesis de
geometría diferencial (dirigida por Charles Boyer) y me inscribí casi
inmediatamente a la maestría en física. Para entonces, yo ya había llevado
más cursos de geometría diferencial y de relatividad con J. Plebanski y me
había convencido de que tenía que reforzar mi preparación matemática. En
algún momento me cruzó por la cabeza la idea de estudiar un doctorado en
matemáticas, pero sólo para ser después un físico teórico "mejor
preparado". Escribí a Harvard y seguramente las cartas de recomendación
que escribieron mis profesores fueron generosísimas porque resulté
admitido sin problemas. 

Mi llegada a Harvard fue como tenía que ser: arrogante. Llegué comiéndome
al mundo y pensando que lo que vendría por delante sería "cuesta abajo"
porque ya tenía bajo el brazo un doctorado en física casi concluído. ¿Qué
resistencia podían ofrecerme los matemáticos? ¡Toda la resistencia del
mundo! como no me costó trabajo comprobar al cabo de la primera semana de
clases. Por un lado, casi todos los estudiantes que uno se encuentra por
ahí han sido durante algún tiempo "el estudiante número uno" en las
escuelas de las que provienen. Es claro que en un salón con veinticuatro
estudiantes de éstos, uno de ellos tendrá que ser el número veinticuatro y
que eso no será fácil. Yo de plano fui el cabús durante mucho tiempo. Era
evidente que me había hecho falta cursar las materias básicas de
matemáticas de la licenciatura con el espíritu de un matemático y no con
el de un físico para haber podido tener un mejor desempeño al llegar a
Harvard. Y es que a veces, los "argumentos físicos" que uno puede usar
para evidenciar alguna afirmación de la física teórica, no se parecen en
nada a las demostraciones que los matemáticos están acostumbrados a dar a
sus teoremas. Mis "demostraciones" rápidamente me pusieron en evidencia en
el curso de álgebra al que me inscribí en el primer semestre en calidad de
aspirante al doctorado y después de mi segunda tarea, el profesor me
sugirió que mejor me inscribiera al curso básico de álgebra (¡el curso
para los {\it undergraduates}!) porque el suyo obviamente me estaba
quedando grande. O sea que no sólo estaba siendo el cabús de mi clase,
sino que de plano me cortaban por incapaz, arrojándome al curso elemental.
Ese fue mi {\it welcome to Harvard, my friend!} El golpe al orgullo fue
duro otra vez, pero hoy me siento muy contento por haberme sabido tomar la
lección con humildad, por haber reconocido que me faltaban las buenas
bases y que éstas uno las puede aprender. Creo que lo más afortunado de
aquellos días difíciles en los que perdí tan de golpe mi asumidas
seguridad y confianza fue: 1) haber asistido al curso de los {\it
undergraduates} aceptando que ése era precisamente mi nivel y que tenía
que aprender "desde cero" y 2) haber estado con mi esposa Tatiana quien,
en los momentos en los que yo más me desesperaba y me cuestionaba
seriamente qué demonios estaba haciendo allí, ella estuvo allí para
recordarme los argumentos y motivos correctos y no dejarme claudicar. 

Hacia la segunda mitad del segundo año, habiendo aprobado los muy temidos
exámenes generales, hablé con el buen Shlomo para que me dirigiera una
tesis y a partir del momento en el que él me dió su {\it ¡sí, acepto!}
conocí facetas de mí mismo que yo ni sospechaba que existieran y conocí
también los encantos y frustraciones de la investigación científica. Y
otra vez, hoy, me siento muy afortunado de haber sido conducido a lo largo
de mi trabajo de tesis doctoral por un personaje como S. Sternberg. Sin
duda fue duro en su momento aguantarle el paso, pero estoy convencido de
que él, más que nadie, fue quien me formó como matemático, además de que
siempre me trató como a un colaborador, él me enseñó con su ejemplo a
confiar en mi trabajo. Discutíamos a todas horas; nos desesperábamos
juntos cuando los resultados no salían. Un día, cuando recién comenzaba a
trabajar bajo su dirección, nos encontrábamos "prendidos de la greña"
frente a un pizarrón reconociendo que no estábamos entendiendo lo que
estábamos viendo al tiempo que pasaba por ahí Don Raoul Bott y preguntó
que qué nos pasaba. Sternberg le contestó algo del estilo {\it we don't
understand this shit!}, a lo que Don Raoul observó: {\it if your student
can't help you, who can?}. A partir de ese momento supe que se esperaba
mucho más de mí y en verdad siento que encaminé mi esfuerzo a satisfacer
las demandas de mi asesor. Ciertamente siempre me sentí con la
responsabilidad de darle respuesta a sus preguntas y de avanzar en la
dirección en la que él sugería avanzar. En el proceso aprendí que uno
puede hacer cálculos complicados, conjeturar resultados, ir tras ellos y
sus demostraciones y que después de algunas semanas y varios kilos de
papel apilado (pero organizado), las cosas pueden no ir bien y entonces
hay que tirar todo ese papel y volver a empezar el problema manera
diferente. Cuesta mucho trabajo deshacerse de todo ese papel y la razón es
que esa puede ser la única prueba tangible de que se ha trabajado duro,
pero si las cosas van mal, simplemente van mal y hay que volver por otro
camino. La ciencia es así y en particular la matemática es así.

                             * * * * * * *

Conforme han ido pasando los años he ido apreciando mucho más el trabajo 
que Shlomo hizo conmigo como estudiante y le he agradecido infinitamente
el haberme dejado conocer y sentir tan de cerca lo que hoy entiendo como
la verdadera esencia del quehacer científico en matemáticas. Hoy lo veo
así: el descubrimiento científico es un producto de la interacción humana.
Los matemáticos, por ejemplo, llegan a conjeturar sus resultados y teoremas
luego de muchas discusiones, de horas en seminarios, de demostraciones
fallidas, etc., pero ante todo, lo verdaderamente importante en el camino
a un descubrimiento científico, por modesto que éste sea, es la
comunicación oral. 

Los artículos donde se reportan los descubrimientos científicos varían en
estilo de ciencia a ciencia. En matemáticas la gran mayoría de los
artículos son muy áridos. El "reportaje matemático" ha de ser riguroso y
estricto. Idealmente no se debe "despeinar ni un sólo pelo" en ninguna
demostración. Pero entonces, con esta manera tan lógica y tan depurada de
reportar un resultado se pierde el sabor de lo que generó las ideas. Se
pierden también los andamios que se pusieron para soportar la estructura
de las demostraciones. Se pierde mucho del estilo artesanal de la
matemática y queda solamente al final un edificio sólido pero sin adornos
y sin vestigios de las motivaciones para haber conducido la investigación
precisamente por el camino por el que se llevó. De ahí que la metodología
del matemático descanse muy fuertemente en sus seminarios y en invitar a
dichos seminarios a los autores de los teoremas sobre los que está
descansando su investigación del momento. La razón fundamental es tener al
fulano enfrente para poderle preguntar ¿por qué su artículo quedó como
quedó y por qué las demostraciones han quedado como quedaron? 

También es cierto que una parte importante del entendimiento matemático se
consigue estando a solas. Casi siempre la versión final de una demostración
se logra después de comenzar a escribir con sumo cuidado todos los detalles
y casi nunca queda perfectamente "bien sellada" en los primeros intentos.
Muchas veces hay que pulir mucho los argumentos y limpiar con esmero los
detalles. A pesar de que ya se está casi seguro de la validez del teorema,
uno no se pone completamente feliz por la demostración sino sólo hasta que
de verdad la ha visto herméticamente cerrada y acabada.

Se puede caricaturizar al matemático como un tipo al que se le ve por los
pasillos del instituto o de la facultad caminando un poco cabizbajo. Si uno 
se le acerca a preguntarle qué es lo que le aflije tanto, él responderá
sencillamente que no termina de salir la demostración de su teorema. Pero 
un buen día, después de tantos seminarios y discusiones e intentos de
limpiar las demostraciones, se va a la cama y no puede dormir porque le
comienza a revolotear una idea de cómo puede conseguir que la demostración
funcione bien. Se levanta de la cama y aunque en la mayoría de estos casos
la idea era un espejismo, habrá una noche en la que sí, todo funciona,
todo sale bien, todo se entiende perfectamente, todo cae por su propio
peso en su lugar y se organiza casi por sí sola la estructura de la
presentación final. El personaje se pone feliz y se siente montado en la
cima del universo. La adrenalina corre por su cuerpo y cada linfocito de
su ser se ve invadido por la droga del descubrimiento que acaba de hacer.
Se olvida de la hora que es. No tiene sueño, no tiene hambre y sólo tiene
este impulso grande por terminar de escribir en limpio todos los detalles
del artículo. Ridículamente se piensa en ese momento que alguien puede
adelantarse en el mundo con la demostración. Se pasa la noche en vela
escribiendo el {\it paper} y como no puede esperar, se va a su oficina a
imprimir la versión final y lo deja, con el primer rayo de sol, dentro de
un sobre rotulado, sobre el escritorio de la secretaria, con una nota
donde le pide enviarlo por mensajería cuanto antes y él se va, entonces
sí, a dormir. Al día siguiente se le vuelve a ver preocupado y cabizbajo
porque ahora anda en busca de un nuevo teorema qué demostrar. Parecería
como una vida un poco aburrida ante los ojos de quien no ha sentido esa
droga de la "noche anterior", pero una sola noche de esas al año vale por
todo el año para alimentar al espíritu del matemático que todos llevamos
dentro.

Desde cierto punto de vista, la caricatura es más o menos aplicable a 
casi todos los matemáticos. Sin embargo, el matiz o "personalidad de los 
resultados" demostrados es una cosa un poco aparte. No puedo dejar de
mencionar que hay teoremas pesimistas y teoremas optimistas. Hay teoremas
importantes -normalmente contraejemplos- que dicen: "no existe X alguno
para el que...", o "la construcción Y no se puede realizar...". Estos, me
aventuro a catalogarlos como resultados pesimistas y casi siempre reflejan
un poco el carácter del matemático que los demostró o descubrió. También
los hay del tipo optimista que normalmente dicen: "para cada Z existe un
único W tal que..." Quizá cueste trabajo pensar que un artículo en
matemáticas presente matices personales dentro de los crípticos enunciados
de sus proposiciones y teoremas, pero yo, mientras más artículos veo, más
me convenzo de que se pueden decir muchas cosas acerca de la personalidad
del autor. Los hay osados, arrogantes, tímidos, mojigatos, etc. He aquí un
ejemplo de una idea osada y optimista:

La supersimetría. El Lema de Schur dice que es imposible establecer una
transformación lineal equivariante diferente de cero entre dos espacios
vectoriales donde un grupo actúa irreduciblemente. En la física existen
dos tipos muy diferentes de partículas elementales; los bosones y los
fermiones. Cada tipo de partícula elemental se entiende, desde el punto de
vista de la matemática, como un vector en un espacio donde el grupo de
simetrías de la naturaleza actúa irreduciblemente. La idea de la
supersimetría es hacer posible la existencia de transformaciones distintas
de cero, equivariantes, entre espacios vectoriales distintos donde el grupo
actúa irreduciblemente. Luego, el escenario donde está planteado el lema de
Schur resulta estrecho. El nuevo resultado podrá ser posible solamente 
sobre bases completamente distintas.

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Cuando pensamos, parece ser que lo hacemos con palabras. Las palabras son
manifestaciones de nuestras ideas y la matemática ha de transmitirse con
palabras -las del idioma que hablamos todos- y otras palabras más: las del
idioma matemático; estas son, las que tenemos que aprender para saber de 
qué objetos hablamos. Pero dado que un tema central de este ensayo ha sido
el de comunicar, quisiera terminar con un par de reflexiones acerca de la
comunicación del pensamiento y en particular, este ensayo entero podría
juzgarse e iluminarse bajo la luz de los siguientes argumentos: si el 
pensamiento son palabras, uno puede valerse del lenguaje escrito para
comunicarlo. Por ejemplo, yo escribo para ordenar mis ideas -para "verlas"
estáticas por un momento, aunque éste sea pequeñito-. Es como tomarles una
fotografía. Pero las ideas se están moviendo constantemente. Recuerdo que
las fotos se llaman también "instantáneas" y pienso que ese nombre
describe y se apega mejor a lo que quiero decir: si escribo para ordenar
mis ideas, puede ser que éstas salgan en su forma "instantánea", pero
puede ser también que salgan "muy movidas", que no se vean bien y hasta
pierdan totalmente su definición. En este caso, he tratado de mover
algunas ideas en forma helicoidal alrededor de un eje central: ¿cómo
motivar a los jóvenes para que abran sus ojos y que por lo menos
consideren dentro del abanico de sus alternativas, la posibilidad de
estudiar alguna carrera científica como la matemática? El propósito era
dar elementos de juicio y fundamentar las posiciones de que esto es un
oficio muy comparable a muchos otros y que se puede aprender y llegar
lejos. Pero ahora, en las postrimerías de este escrito tampoco puedo dejar
de mencionar que un propósito más ambicioso sería tomar como pretexto las
preguntas iniciales (¿qué hace un matemático?; ¿qué significa dedicarse a
las matemáticas profesionalmente?; ¿cómo describiría un matemático su
trabajo y cómo lo compararía con otros trabajos?) y con base en ellas
generar algo así como una declaración de principios respecto a la propia
profesión. Sin embargo, la tarea de apuntar la brújula hacia la dirección
ideal y darse argumentos y estrategias para avanzar sobre el camino
planeado es una tarea muy íntima; es algo que cada uno debe hacer para sí
mismo y puede no tener mucho sentido el esfuerzo de ponerse a escribir
algo así para el público a la luz de la pregunta ¿por qué ha de hacerse
pública una disertación sobre asuntos tan personales? Y como no tengo una
respuesta razonable y sensata para esta pregunta, prefiero dejar el ensayo
en un nivel independiente del terreno idealista.

De hecho, desde hace unos días me viene dando vueltas en la cabeza la idea
de las románticas líneas de Antonio Machado -en la canción de Joan Manuel
Serrat- "caminante, ¡no hay camino! Se hace camino al andar..." y esta
misma idea la he contrapuesto al {\it sueño imposible} que dice: "con fé
lo imposible soñar,... buscar la verdad o el error,... ese es mi ideal: la
estrella alcanzar, no importa cuán lejos se pueda encontrar". Observo que
la primera canción nos invita un poco a vagar sin rumbo, a movernos en
cualquier dirección sin importar el final. La canción es exquisitamente
romántica porque tiene mucho de verdad y de encanto. La segunda es el
ideal. Es localizar la estrella polar y orientar la brújula hacia allá; es
determinar cuál es la dirección óptima para moverse y darse al propósito
de llegar al final de ese camino con la fé y la convicción de que lo que
hay al final es {\it lo mejor.}

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