Unidad 3: Calcular valores y vectores característicos
Sea A una matriz de n x n. El número λ se llama eigenvalor de A si existe un vector diferente de cero v en Cn tal que
Av = λv
El vector v distinto de cero se llama eigenvector de A correspondiente al eigenvalor λ.
Esta unidad se enfoca a encontrar estos eigenvectores y eigenvalores a través de diversos métodos.
Cosas a recordar:
1) Sea {v(1), v(2),...,v(k)} un conjunto de vectores. El conjunto es L.I., en tanto
α1 v(1) + α2 v(2) + ... + αk v(k) = 0
entonces α1 = α2 = ... = αk = 0. De lo contrario, el conjunto de vectores es linealmente dependiente.
2) Si {v(1), v(2),...,v(n)} es un conjunto de vectores L.I. de Rn, entonces cualquier vector x Є Rn puede escribirse de manera única como
β1 v(1) + β2 v(2) + ... + βn v(n) = x
para algún conjunto único de constantes β1, β2, ..., βn.
3) Todo conjunto de n vectores linealmente independientemente en Rn recibe el nombre de base de Rn.
4) Si A es una matriz y λ1, ..., λk son valores caracteísticos de A con los vectores característicos asociados x(1), x(2), ... , x(k) entonces {x(1), x(2), ... , x(k)} es L.I.
5) Se dice que un conjunto de vectores {v(1), v(2),...,v(k)} es ortogonal si (v(i))t v(j) = 0 para toda i distinta de j. Además, si (v(i))t v(i) = 1 para toda i = 1, 2, ..., n, entonces se dice que el conjunto es ortonormal.
6) Un conjunto ortogonal de vectores distintos de cero es L.I.
7) Se dice que una matriz Q es ortogonal si Q-1 = Qt.
8) Se dice que 2 matrices A y B son similares si existe una matriz S no singular con A = S-1 B S
9) Supongamos que A y B son matrices similares con A = S-1 B S y que λ es un valor característico de A con el vector característico asociado x. Entonces, λ es un valor característico de B con Sx como vector característico asociado.
10) (Teorema de Schur) Sea A una matriz arbitraria. Existe una matriz no singular U con la propiedad de que T = U-1AU, donde T es una matriz triangular superior cuyos elementos diagonales constan de los valores característicos de A.
11) Si A es una matriz simétrica y D es una matriz ortogonal cuyos elementos diagonales son los valores característicos de A, entonces existe una matriz ortogonal Q tal que D = Q-1AQ = QtAQ
12) Si A es una matriz simétrica de n x n, entonces los valores característicos de A son números reales, y existen n vectores característicos de A que forman un conjunto ortonormal.
13) Una matriz simétrica A es definida positiva si y solo si todos los valores característicos de A son positivos.