CIMAT, VI Escuela de verano, 25 de julio - 7 de agosto 1999 Introducción a la Geometría de la Mecánica Clásica

Problemas 1 - 3

1. Una partícula se mueve a lo largo del eje de x segun la ecuación ẍ = −x, con las condiciones iniciales x(0) = 1, ẋ(0) = 0.

(a) Dibuja la gráfica de x(t).

(b) ¿Es periódico su movimiento? En caso que sí, encuentra el periodo de su movimiento (i.e. el tiempo que le toma volver a su posión y velocidad inicial).

(c) Dibujar en el plano de coordenadas (x, y) la curva parametrizada por (x(t), ẋ(t)).

(d) Dibujar las gráficas de su energía cinética T = (ẋ)^{2}/2 y potencial V = x^{2}/2 como función de tiempo. Dibuja las dos gráficas ensimadas y verifique la ley de conservación de energía, E = T + V = constante.

(e) Repetir los 4 incisos anteriores con x(1) = 2, ẋ(0) = 0.

(f) Dibuja el retrato de fase de la ecuación.(Es decir, hay que dibujar curvas como en el inciso (c), para todas condiciones iniciales posibles, o un número suficiente de ellas para tener idea clara de como se ve el retrato).

2. Dibujar el retrato de fase de las siguientes ecuaciones:

(a) ẍ = −2x (oscilador harmónico).

(b) ẍ = x (equilibrio inestable).

(c) ẍ = −sen x (péndulo).

(d) ẍ = −1 (piedra que se cae).

(e) ẍ = −1/x^{2} (aterizaje duro).

3. Una partícula se mueve en el plano segun la fórmula (x, y) = (cos 2t, sen 2t).

(a) Encuenra su posicion cuando t = 1/4.

(b) Encuentra los timepos t cuando se encuentra en (0, 1).

(c) Encuentra los vectores de velocidad y acceleración al pasar en (0, 1). Dibujar.