CIMAT, VI Escuela de verano, 25 de julio - 7 de agosto 1999 Introducción a la Geometría de la Mecánica Clásica

Problemas 6 - 8

6. Demostrar que grad(1/r) = x/r^{3}, donde x = (x_{1}, …, x_{n}) ∈ ℝ^{n} y r = ∥x∥ = \sqrt{x_{1}^{2} + … + x_{n}^{2}}. En otras palabras, −1/r es un potencial para el sistema de Kepler ẍ = −x/∥x∥^{3}.

7. Escribir la ecuación de Newton ẍ = −grad(V), x ∈ ℝ^{2}, en coordenadas polares (r, θ) en el plano, donde V = V (r) es un potencial de fuerza central (e.g. V = −1/r para el sistema de Kepler), usando el formalismo Lagrangiano.

Es decir, hay que escribir el Lagrangiano L = T − V del sistema en coordenadas polares, y luego escribir las ecuaciones de Eueler-Lagrange

\frac{∂L}{∂x_{i}} = \frac{d}{dt} (\frac{∂L}{∂ẋ_{i}} ) ,

i = 1, 2, donde x_{1} = r, x_{2} = θ.

8. Demuestra, usando el cálculo de variaciones, que las curvas mas cortas (mínima longitud) entre dos puntos dados en el plano son las lineas rectas, dadas por la ecuación y = Ax + B. Sugerencia: la longitud de la gráfica de una función y = f(x), x_{0} ≤ x ≤ x_{1}, está dada por ∫_{x_{0}}^{x_{1}} \sqrt{1 + [f′(x)]^{2}}.