Licenciatura de Matematicas de la UGTO Propuesta de Temas para el TRONCO COMUN de materias --------------------------------------------------- Esta propuesta esta basada en las propuestas que fueron presentadas al comite por Berta, Adolfo y Gil (julio de 2000). Teoria de numeros elemental =========================== - concepto y ejemplos de: Divisibilidad, Números primos y compuestos, congruencias, numeros irracionales - teorema fund de aritmetica (existencia e unicedad de descomposición en factores primos) - la criba de aretostenes - el algoritmo de division de Euclides - representacion de naturales y decimales en otras bases - el teorema de Fermat-Euler (a^\phi(n)=a mod n). Teoria de conjuntos elemental/logica ==================================== -interseccion/union/complemento -Implicación, negación, cuantificadores (para todo..., existe...) -principio de induccion -concepto de funcion, iny/supra/biyect, composicion -cardinalidad, conjunto denumerable -demostrar que |Q|=|N| -demostrar que |R|>|N| -demostracion de cantor de la existencia de numeros no algebraicos -lemma de Zorn, axioma de eleccion, buen orden -combinatoria elemental (n!, (n \choose k), triangulo de pascal) - concepto + ejemplos de relacion de equivalencia (Z/nZ, R^2/linea, biyeccion de conjuntos) Geometria elemental ================== - semejanzas de triangulos - teo de angulo central - trigonometria - ecns de recta/plano/conicas - graficacion de una curva planar defina por una ecuacion (eg x^3=y^2). - coordenadas polares/cyclindricas/esfericas - aritmetica/geomeria del num complejos, descomposicion polar - distancia en R^2 Alg Lin: ======== - concepto y ejemplos de: campo espacio vectorial sobre un campo, subesp, esp cociente, dep lin, base, dimension, transf lin, ker/im, suma directa - ejemplos de campos: R,Q,C,Z_p - matrices: notacion y manipulacion (multiplicar, sumar, traspuesta, inversa, det....), la matriz asociada a una trasf lin + base, cambio bajo cambio de base - solucion de sistemas de ecuaciones lineales (Eliminación Gaussiana). - teorema de la dimension (dominio=rango + nul). - producto escalar, base ortonormal, ortogonalizacion gram-schmidt - formas bilineales sim/antisim, clasificacion - determinantes - valores y vectores propios, polinomio caracteristico/minimo, teorema de cayley hamilton - diagonalizacion de matrices simetricas - forma canonica de jordan - complexificacion de esp/tranf lin real. - tranf lin espciales: invertibles, (anti)simetricas, orthogonales, simplecticas, unitarias, (anti)hermiticas, nilpotentes, normal (diagon - ejemplos en R^2: ecns de lineas/conicas (diagonalizcion) - ejemplos en R^3: ecns de plano/cuadrica Grupos ====== - concepto y ejemplos de: grupo, homomorfismo, subgrupo, subgrupo ker/im, subgrupo normal y grupo cociente. - teoremas de isomorfismos (im=dominio/ker) - grupos de permutacion (descomposicion en ciclos), A_n no simple para n>4. - clasificacion de grupos abelianos finitamente generados. Anillos ======= - concepto y ejemplos de: anillo, subanillo, ideal, ideal principal/maximal, cociente, dominio entero, campo, homomorfismo, dominio euclideano (algo div). - teoremas de isomorfismo. - ejemplos: Z, anillos de polinomios/funciones. - modulos sobre anillos: producto tensorial. - anillos de polinomios, irreducibilidad, polinomios simetricos Teoria de Galois/Campos ====================================== - teoria y aplicacion (construcciones con compas y regla, polinomios de grado > 4) Analisis ======== - graficas de funciones - las funciones elementales y sus inversas (sin, cos, exp) - construccion de los numeros reales (cortes de dedekind) - extension de operaciones con racionales a los reales (suma, producto, exp, log) - sup/inf - sucecion y su limite, lim sup/inf, suc de cauchy - serie y su suma (criterios) - el numero e calc de 1-var ------------ - limites y continuidad - cont vs. cont uniforme - derivada (cadena, leibnitz) y su significado geometrico (tang a la graf), clasif de puntos criticos segun f" - teoremas de: valor intermedio, rolle, l'hopital, taylor, fund del calc - aplicaciones: min/max, crec/decrec, convexidad, modelacion (velocidad, acceleracion, densidad) - integral de rimeann definido/indefinido (antideriv) + aplicaciones (area, probabilidad) - tecnicas de int : por partes, cambio de variable, frac parciales - transf y serie de Fourie calc mult var ------------- - topo de R^n (def + ejemplos de) : conj abiertos/cerrados/densos/conexos/arcoconexos, interior y cerradura, func cont R^n -> R^m, distancia, limite de suc, suc de cauchy/completez - diferenciabilidad de funciones R^n -> R^m : el diferencial como operador lineal, grad, derivada direccional, derivadas parciales - regla de la cadena - min/max, Hess(f) - mult de lagrange - Taylor - teo de funcion implicita/inversa - integral (multiple) de riemann: propio/impropio, dependiente de parametros (su diferenciacion), fubini, cambio de variable, jacobiano, - aplicaciones del int de Riemann : area, volumen, inercia, centro de masa, probabilidad - continuidad - interpolacion de newton/lagrange (?) calc vectorial -------------- - integral de linea/supeficie - grad/rot/div - stokes/green/gauss - campos conservativos Topologia de conjuntos/analisis matematico ------------------------------------------ - def y ejemplos de: esp topo/metrico, conj abierto/cerrado/denso/compacto/conexo/arco-conexo, cerradura, interior, func cont, axiomas de separacion (esp hausdorff etc), convergencia suc, conv unif, equicont, - ejemplos: R^n, L_p/l_p, C(X) - teos: compacto ==> cerrado y acotado, Stone-Weirstrass, Arzela Ascoli, arzela-ascoli, categoria de baire, - analisis de fourie: serie y transformada, apls (sol de PDE tipicas - onda, calor) var compleja ------------ - def y ejemplos de: func analitica, ecns de cauchy riemann, tranf de mobius, integral de linea - teo + formula integral de cauchy - teo's de: liouville, morera, roche, residuo, principio del maximo - func logaritmica - func armonicas en R^2 - clasif de sing y teo de Taylor/Laurant EDO === - def y ejemplos de: EDO, grado, orden, solucion, cond inic - metodos especiales (separacion, cambio de variables, simetria, serie) - teo de exist + unic - sistema de ecn lin (usando jordan) - ecns y funcs especial (bessel, airy, hipergeometrica) - polinomios ortogonales (legendre, hermite) - teoria de sturm liouvile - espectro de un operador diferencial - integracion numerica (runga kutta) - calculo de variaciones para funciones de 1-var - aplicaciones: oscilaciones/modos normales, mecanica clasica. Prob + Estad ============ - def y ejemplos de: esp de eventos/muestra, probabilidad, Probabilidad condicional e independencia, var aleatorios, distribucion, expectation value, varianza y covariaza, correlacion, muestra, mediano, estadistica. - ejemplos de distribucones: binomial, geometrica, poisson, normal. - leyes de numeros grandes (chebichef, limite central,...). - metodos estadisticos elementales: prueba de hipotesis, .... Analisis numerico ================= - integracion numerica (metodo de monte carlo) - regla de simpson - calculo de errores - sol num de ecns lineales (metodo?)