Seminario de Problemas e Investigación 

Resumen de la Sesion de 14.3.2000
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1. Sobre problema 2 de 13.3.2000 ("dos jugadores..."): 

a) vimos que la definicion que dimos de "estrategia inmejorable" no es
razonable; de hecho, es imposible tener estrategia que sea inmejorable
en contra de cualquier estategia del otro jugador. La nueva definicion
que adoptamos para estrategia inmejorable es:

para cada par (E1, E2) de estrategias, donde E1 es una estrategia para
el 1er jugador y E2 es una estrategia para el 2ndo jugador, definmos
la "distancia" d(E1,E2) entre las dos estrategias como la distancia
promedia que resulta entre los jugadores cuando juegan estas
estrategias.  Luego, el "costo" de una estrategia E1 para el 1er
jugador se define como c(E1)=sup{d(E1,E2) | E2 estrategia para el 2ndo
jugador}, o sea el maximo que el 1er jugador tendra que pagar (en
promedio) si decide jugar con esta estrategia. Ahora decimos que una
estrategia E1 para el 1er jugador es inmejorable si su costo es
minimo, ie si c(E1)=inf{c(E1') | E1' estrategia para el 1er jugador}.

Analogamente para el 2ndo jugador, c(E2)=inf{d(E1,E2) | E1 estrategia
para el 1er jugador}, y E2 es inmejorable si c(E2)=sup{ c(E2') | E2'
estrategia para el 2ndo jugador}. 

b) conjeturamos lo siguiente: 

- cada uno de los jugadores tiene una estrategia inmejorable. 

- (E1,E2) es un par de estrategia inmejorables ssi 

	d(E1',E2) >= d(E1,E2) >= d(E1,E2') 

para cualquier otras estrategias E1' y E2'.

(la direccion <= esta demostrada. 

c) preguntamos si las estrategias inmejorables son unicas. 

2. Geometria hiperbolica: Formulamos los siguientes problemas: 

a) Sea H={(x,y) en R^2 | y>0}. Cuales son todas las funciones
invertibles H -> H que preservan angulos y lineas hiperbolicas?

conjeturamos: composiciones de inversiones con respeto a lienas
hiperbolicas.

b) Denotamos por G el conjunto de todas las funciones H -> H que son
composiciones de inversiones con respeto a lienas hiperbolicas.
Cuales son todas las funciones de distancia d: H X H -> R preservadas por 
G? 

Recordamos: 

una funcion de distancia d: H X H -> R es una funcion que satisface:

	- d(v1,v2) >=0,  e =0 ssi v1=v2. 
	- d(v1,v2)=d(v2,v1). 
	- d(v1,v3) <= d(v1,v2)+ d(v2,v3), e igualdad ssi v1,v2,v3 son
	  colineales (estan sobre uina linea hiperbolica).

Una funcion de distancia d: H X H -> R es preservada por G si
d(v1,v2)=d(g(v1),g(v2)) para todo g:H->H en G.

Conjeturamos: existe tal funcion de distancia y todas tales funciones
de distancia son un multiplo (positivo) de una sola.

c) Suponiendo las conjeturas anteriores, describe el circulo hiperbolico 
con centro en (0,1) que pasa por (a,1). 

d) Como definir en geometria hiperbolica la proyeccion P' de un punto P en H sobre una linea (hiperbolica) l? tenemos las siguientes 3 sugerencias: 

 - P' es el punto de l mas cercano a P. 

 - P' es el punto de interseccion de l con l', donde l' es la unica
liena hiperbolica ortogonal a l que pasa por P.

 - Sea I: H -> H la inversion con respecto a l, sea P''=I(P) y l' la linea
hiperbolica que pasa por P y P''. Entonces P' es la interesccion de l con l'. 

conjeturamos: las 3 definiciones son equivalentes.