Seminario de Problemas e Investigación Resumen de la Sesion de 21.2.2000 ================================ 1. a) Sobre 2c de 7 feb y 1 de 8 feb: vimos una construccion de una coloracion con 3 colores de las aristas de la grafica completa sobre 16 puntos, que no contiene un triangulo monocromatico. La idea de la construccion es la siguiente: pensamos en los 16 vertices como los elemntos de un espacio vectorial 4-dimensional sobre Z_2 (podemos pensar que los elementos son sucesiones de 0's y 1's de longitud 4, y la suma dos tal dos elemntos se define componente por componente, modulo 2, ver 1 de 8 feb). A cada arista le asociamos el vector que es la suma de los vertices en sus extremos. De esta manera "coloreamos" las aristas en los 15 "colores" que son los vectores no nulos de nuestro espacio vectorial. Ahora notamos que 3 vectores, digamos A,B,C, son los vectores asociados a las 3 aristas de un triangulo ssi A+B+C=0. Para terminar la construccion tenemos entonces que subdividir el conjunto de 15 vectores no nulos en 3 subconjuntos (disjuntos) de 5 c.u., tal que ninguno de los 3 grupos contenga un triple de vectores que suman 0. Para esto observamos que es suficiente tener que en cada subconjunto los 5 vectores sumen a 0. De hecho, es suficiente verificar que dos de los subconjuntos satisfacen esta condicion de "suma 0", porque es facil ver que la suma de todos los vectores en el espacio es 0. El ultimo paso consiste entonces en "adivinar" dos subconjuntos disjuntos de 5 elementos c.u. con la propiedad de suma 0, eg {0001, 0010, 0100, 1000, 1111} y {1100, 1010, 0110, 1110}. b) preguntamos: Hay una manera de hacer el ultimo paso sin "adivinar"? Dicho de otra manera: suponte que k es un divisor de 2^n-1. Es cierto que se puede dividir los 2^n-1 elementos no nulos del espacio vectorial n-dimensional sobre Z_2 en varios subconjuntos, cada uno de ellos con k elemntos que suman a 0? c) Con esto demostramos que el numero r(3,3)=17 (ver 7 feb, 2c.) Sobre r(3,4) tenemos cota superior de 66 (de 7feb, 2b), y cota inferior de 17. Buscamos mejorar estas cotas. 2. Sobre problema 4 de 15 feb: a) vimos que existe un conjunto infinito en posicion genral en el plano talque todos las distancias entre pares de puntos del conjunto son racionales. La idea: sobre un segmento de longitud 1, construimos triangulos rectangulos con el segemento como hipotenosa. Por la existencia de una infinidad de triples pitagoricos primitivos (sin divisor comun) sabemos que existen una infindad de tal triangulos. El conjunto que buscamos consiste en los vertices de estos triangulos; como todos los puntos estan sobre un circulo (el que tiene el segmento como diametro) estan en posicion genreral. Para cada par de estos puntos, el hecho que la distancia entre ellos es racional sigue de una formula de Ptolomeo acerca de cuadrilateros ciclicos (si a,b,c,d son los lados, ciclicamente anotados, y si e,f son los diagonales, entonces ac+bd=ef.) b) Vimos dos demostraciones distintas de esta formula de ptolomeo y una generalizacion para un cuadrilatero general: (ef)^2=(ac)^2+(bd)^2 - 2(ac)(bd)cos(A+B), donde A y B son dos angulos opuestos en el cuadrilatero. c) Preguntamos: sera cierto que un conjunto de 5 puntos en el plano, tal que ningun 3 estan colineales y ningun 4 estan cociclos, contiene un par de puntos con distancia iracional? d) hay una generalizacion de la formula de ptolomeo para 5 puntos cocyclicos? 5 puntos co-esfericos (en R^3)? 3. Algunos problemas en geometria hiperbolica: Definiciones: Los puntos del plano hiperbolico son los puntos del "semi-plano superior", ie los puntos (x,y) en R^2 con y>0. Las "lineas" son semicirculos con centro sobre el eje de x, y tambien lineas verticales. El angulo entre dos lineas (hiperbolicas) es el angulo usual (euclideano) entre dos circulos (el angulo entre los tangentes a los circulos en el punto de interseccion). La distancia hiperbolica entre puntos difinimos mas tarde. Queremos comparar las propeidades basicas de la geometria hiperbolica con la euclideana. Algunas preguntas: a) Sera cierto, en gemetria hiperbolica, que para cualquier 2 puntos distintos, existe una unica linea que pasa por ellos? b) Cual es la suma de angulos en un triangulo? c) Cual sera una buena definicion de "lineas paralelas" en geometria hiperbolica? d) Cual sera una buena definicion de distancia entre puntos en geometria hiperbolica? e) Discubrir las leyes de senos, cosenos, pitagoras, congruencia... etc.