Seminario de Problemas e Investigación Resumen de la Sesion de 22.2.2000 ================================ 1. Sobre problema 4 de 15 feb (y punto 1 de 21 feb): a) sera cierto que un conjunto infinito de puntos en el plano, tal que todas las distancias entre pares de puntos de conjunto son racionales, esta contenido en un circulo? b) estudiar conjuntos del plano tal que todas las distancias entre pares de puntos es irracional. c) en la demostracion de punto 1a de 21 feb, el hecho clave que usamos, como consecuencia del teorema de ptolomeo, es que en un cuadrangulo ciclico, si 5 de sus 6 aristas y diagonales son racionales, entocnes el sexto tambine lo es. Preguntamos: sera posible demostrar esto sin el teorema de ptolemeo? o sea sin derivar la relacion precisa entre las 6 distancias? d) sera cierto que dados 5 puntos sobre la esfera unitaria en R^3, si 9 de las distancias son racionales, entonces la decima tambine lo es? 2. sobre punto 3 de 21 feb (geometria hiperbolica): a) vimos la demostracion de la parte a. b) sobre la parte d (definicion de distancia entre puntos) formulamos la siguientes axiomas que pedimos de la funcion distancia d(x,y): * d(x,y) es >=0, y =0 ssi x=y. * d(x,y)=d(y,x). * d(x,z) <= d(x,y) + d(y,z) (desiagualdad de triangulo) y igualdad sucede ssi los tres puntos x,y,z estan sobre una linea (hiperbolica). preguntamos si existe una funcion de distancia que satisface estas propiedades y si es unica (salvo multiplicacion por constante. c) una sugerencia para d(x,y): la longitud (euclideana) del segemento de linea hiperbolica que conecta x con y. La unica duda que nos quedo, es si d(x,z) = d(x,y) + d(y,z) implica que x,y,z son colineales.