Seminario de Problemas e Investigación Resumen de la Sesion de 22.5.2000 ================================= 1. Demostramos lo siguiente: Cualquier conjunto no colineal en el plano tal que la distancia entre cualquier dos puntos es entera, es finito. idea de la demostracion: suponte que A,B,C son tres puntos no colineales de tal conjunto. Cualquier otro punto del plano tiene la propiedad que la diferencia de sus distancias a A y a B es menor o igual a la distancia entre A y B (usando la desigualdad del triangulo). Para cada k=0,1,2,..., el conjunto de todos los puntos del plano cuyo diferencia de distancias a A y B es k es una hiperbola, o linea recta (si k=0 o |A-B|). Obtenemos entonces que el conjunto esta contenido en una union de una familia finita de hiperbolas y lineas. Repitiendo lo anterior con B,C obtenemos que el conjunto esta contenido en la union de otra familia finita de hiperbolas y lineas, y es facil ver que las dos familias no tienen un miembro en comun. Asi que el conjunto esta contenido en la union (finita) de intersecciones de curvas. Pero la interseccion de cualquier dos hiperbolas distintas (o hiperbola con linea, o linea con linea) es finita (a lo mas 4 puntos), asi que nuestro conjunto es finito. 2. Pregunta nueva (algebra lineal): para cada n=1,2,3,.... hay que demostrar que existe una matriz A de n por n tal que A^3=A-I, donde I es la matriz de identidad de n por n.