Seminario de Problemas e Investigación 

Resumen de la Sesion de 28.2.2000
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1. Sobre problema 4 de 15 feb (ver tambien punto 2 de 21 feb y punto 1
de 22 feb):

a) vimos, como consecuencia de la demostracion de punto 2 de 21 feb,
que para cada entero n existen n puntos en el plano con coordinadas
enteras sobre un circulo tal que todas las distancias entre pares de
puntos del conjunto son racionales.

b) vimos un ejemplo de 4 puntos en el plano en posicion general
"generalizada" (no cociclicos, ie sobre un circulo, y ningun 3 son
colineales), con todas las distancias racionales. Los puntos son
(12,0), (0,5), (-12,0), (0,-16).

c) Preguntamos: se puede encontrar, para todo n=5,6,..., un conjunto
planar de n puntos en "posicion general generalizada" (ningun 3 son
colineales y ningun 4 son cociclicos) tal que todas las distancias
entre pares de puntos del conjunto son racionales?

d) Para un conjunto planar A definimos su "conjunto de distancias"
d(A) como el conjunto de todas las distancias entre pares de puntos del
conjunto. El problema general es explorar la relacion entre A y d(A). 
Parte del problema es formular buenas preguntas acerca de esta relacion. 

2. Sobre problema 2 de 31 enero (residuos cuadraticos, ver tambien
punto 2 de 8 feb):

a) vimos una demostracion que (-1/p)=1 ssi p=1 mod 4, usando el
teorema de Wilson ( (p-1)! es congruente con -1 mod p. )

b) Conjeturamos que (2/p)=-1 ssi p es congruente con 1 o -1 mod 8. 

3. acerca de punto 3 de 21 feb (geometria hiperbolica, ver tambien
punto 2 de 22 feb): 

a) Agregamos el requisito para un candidato para una funcion de
ddistancia: el segmento de linea (hiperbolica) que conecta x con y
debe ser el "camino mas corto" entre x y y, en donde el "mas corto"
significa con minima longitud, donde la longitud de un camino, digamos
poligonal, se define como la suma de las lonjitudes de sus
segmentos. Caminos mas generales definimos su longitud por un limite
a traves de un proceso de aproximacion por caminos poligonales.