Seminario de Problemas e Investigación resumen de la Sesion de 31.1.2000 ================================= Los primeros 4 problemas 1. Una pelota rebota dentro de una mesa de billares cuadrada, con lados a,b,c,d. La ubicamos en cierta posicion inicial dentro de la mesa (digamos en un punto a lo largo del lado a) y la lanzamos en cierta direccion inicial. Luego, la pelota sigue corriendo, rebotando contra las paredes, con angulo de incidencia=angulo de reflexion (si pega justo en una esquina, no definimos, por el momento, el movimiento; ver mas adelante). Para ciertas condiciones iniciales la trayectoria es cerrada, o PERIODICA, ie la pelota regresa despues de un cierto numero de reflexiones (llamado el PERIODO de la trayectoria) a sus condiciones inicial. Por ejemplo, aqui esta una trayectoria periodica, con periodo=4, c ______ | /\ | | / \ | |/ \| d |\ /| b | \ / | | \/ | ------ a Asociamos a cada trayectoria (periodica o no) la sucesion de letras ("palabra") que denotan las paredes que la pelota toco. Para el ejemplo arriba, recorrido en contra de la direccion de las manecillas del reloj, la sucesion es abcdabcd.... Estudiamos las trayectorias cerradas: a) que periodos son posibles para una trayectoria cerrada? vimos que 4 es posible. Sera cierto que todos los periodos son pares? digamos, es posible tener trayectoria cerrada con periodo=3? b) que "palabras" son posibles para trayectorias cerradas? digamos, adbc (repetido) es posible? c) que "hacer" cuando la pelota pega en una esquina? o sea, cual sera una manera razonable de definir "la ley de reflexion" de la pelota cuando pega a una esquina? que podemos decir acerca del conjunto de condiciones iniciales para los cuales la pelota pega a una esquina? es "peque~no" en algun sentido? a la mejor numerable? d) Sera cierto que dos trayectorias cerradas con la misma palabra asociada tienen la misma LONGITUD? por ejemplo, suponiendo que el cuadrado es de 1 por 1, es cierto que todas las trayectorias cerradas "de tipo" abcdabcd... tienen longitud de 2*(raiz de 2)? 2. Sea p un primo y a un residuo mod p. Decimos que a es un residuo cuadratico mod p si es congruente (mod p) con el cuadrado de un entero, ie si a tiene una "raiz cuadrada" mod p. Por ejemplo, 2 es un residuo cuadratico mod 7, porque 3^2=2 (mod 7), pero 3 no lo es. a) Cuantos residuos cuadraticos mod p hay? (Conjetura de la clase: (p+1)/2.) b) Definimos el simbolo de Jacobi (a/p) como 1 o -1, segun si a es, o no es, un residuo cuadratico mod p (resp.). Puedes encontrar una relacion entre (a/p), (b/p) y (ab/p)? 3. Teoria de Ramsey: el 3er numero de Ramsey, r_3, se define como el minimo numero de personas N, tal que en cualquier grupo de N personas podemos siempre encontrar 3 personas que cualquer par de ellos se conocen, o que cualquer par de ellos no se conocen. a) Demuestra que r_3=6. (Reformulacion: si dibujamos un hexagono junto con todos sus diagonales, y pintamos algunos de las aristas y diagonales en rojo y los demas en negro, entonces siempre podemos encontrar en el dibujo un triangulo monocromatico...) b) Encuentra a r_4 (o por lo menos da una cotas inferiores e superiores, o por lo menos demuestra que existe...). c) Version infinita: Demuestra que en cualquier conjunto infinito de personas, se puede encontrar un subconjunto infinto, tal que cualquer par de ellos se conocen, o que cualquer par de ellos no se conocen. 4. Como repartir un pastel entre 2 personas tal que ninguno "se queja"? o sea, que ninguno puede decir que tiene menos de la mitad SEGUN EL? es facil: le dejamos a uno a partir el pastel en 2 partes iguales SEGUN EL, y le dejamos al otro escojer lo que el prefiere... a) es posible repartir un pastel entre 3 personas t.q. cada uno queda satisfecho que tiene por lo menos 1/3 (segun el)? b) es posible repartir un pastel entre 3 personas t.q. cada uno queda satisfecho que tiene por lo menos 1/3 y que ninguno de los otros 2 tiene mas de 1/3 (segun el)? c) puedes generalizar lo anterior para N personas?