Seminario de Problemas e Investigación 

resumen de la Sesion de 7.2.2000
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1. Sobre problema 1 de 31 enero (billares), formulamos los siguientes problemas:

a) Demuestra que en una mesa cuadrangula convexa arbitraria, con lados
a,b,c,d, existe una trayectoria cerrada de tipo abcd.

b) Demuestra que si tomamos una tal trayectoria y cambiamos un poco la
POSICION incial, pero no la DIRECCION inicial, entonces obtenemos de
nuevo una trayectoria cerrada, y con la misma longitud.

c) Sera cierto que TODAS las trayectorias cerradas de tipo abcd tienen
la misma longitud?


2. Sobre problema 3 de 31 enero (teoria de Ramsey), vimos lo siguiente: 

a) Definmos el numero r(3,n), que es el minimo numero de vertices
necesario en una grafica completa (i.e. todas las aristas posibles
estan presentes), tal que al pintar las aristas en n colores siempre
se puede encontrar un triangulo monochromatico (ie 3 aristas del mismo
color que forman los 3 lados de un triangulo).

b) Vimos una demostracion que  r(3,n) <= [en!] + 1. 

c) Vimos que esta cota superior es de hecho r(3,n) para n=2, y
sospechamos que esto sucede tambien para n=3, pero no tenemos
demostracion; concretamente: hay que encontrar una manera de pintar en
3 colores una grafica completa con 16 vertices, sin que aparezca
ningun trangulo monocromatico (o demostrar que tal cosa no existe).

d) Buscamos una cota inferior a r(3,n). 

e) Vimos que para la parte (c) del problema (version inifinita), una
vez vez que lo demuestramos para 2 colores lo tenemos facilmente para
un numero finito de colores (ie, si tomamos una grafica completa con
un numero infinito de vertices y pintamos las aristas en un numero
finito de colores, entonces siempre se puede encontrar una sub-grafica
completa monocromatica).

f) Vimos una version geometrica de teoria de Ramsey: si pintamos los
puntos del plano R^2 en 2 colores, entonces podemos encontrar un
triangulo rectangulo monocromatico (sus vertices). Pregunta: sigue
siendo cierto para n colores?