Seminario de Problemas e Investigación 

resumen de la Sesion de 8.2.2000
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1. Sobre punto 2c de 7 febrero: Intentamos la siguiente idea: tomamos
una grafica completa sobre 16 vertices, y nombramos los vertices con
0000, 0001, ..., 1111 (todas las sucesiones de 0's y 1's de longitud
4). De este modo, cada arista corresponde a un par de tal
sucesiones. Tomamos entonces dos tales sucesiones (distintas), y
formamos su "suma rara", que es otra vez una tal sucesion, cuyo
i-isimo digito es la suma (mod 2) de los i-isimos digitos de los dos
numeros; e.g. 1011 y 0110 da 1001. Ahora queremos asignar a cada uno
de los 15 resultados posibles (0001 hasta 1111) uno de 3 colores. Una
cosa que intentamos (y no funciono) es asignarle al resultado, pensado
como un entero en base 2, su residuo mod 3. La pregunta entonces es:
?hay una manera de colorerar estos 15 numeros en 3 colores y obtener
una grafica sin triangulos monocromaticos?

2. Sobre problema 2 de 31 enero (residuos cuadraticos):

a) Definimos a C_p como el conjunto de residuos cuadraticos mod p, y
por C_p^* los residuos cuadraticos distintos de 0.

b) Demostramos que  C_p^* tiene (p+1)/2 elementos. 

c) demostramos que el simbolo de Jacobi es MULTIPLICATIVO:
(a/p)(b/p)=(ab/p), para a,b distintos de 0 (mod p).

d) formulamos las siguientes preguntas: calcular el (-1/p) y (2/p).
Conjetura del 1ero: 1 ssi p=1 mod 4.

3. Sobre punto 2f de 7feb: 

a) vimos que si coloreamos a Z^2 (el latice entero en R^2) en dos
colores entonces siempre se puede encontrar un traingulo rectangulo
isocelo monocromatico.

b) mismo para rectangulo (y para coloracion en num finito de colores).

c) generalizando el anterior, queremos encontrar patrones
monocromaticos mas elaborados.  Pensando en un rectangulo como el
"principio de un sublatice", queremos entonces encontrar un pedaso mas
grande de un latice... algo asi:

	*	*	*

	*	*	*

d) una version simplificada del anterior: preguntamos si es cierto que
para cada coloracion de Z en dos colores, existe un triple
momocramatico de la forma {a,a+d,a+2d}.