CLAVE: MAT-371

SEMESTRE DE UBICACION: Tercero.

AREA: Algebra.

PRE-REQUISITOS: Algebra Lineal I.

PREPARADO POR: Gil Bor, Luis Hernandez, Aug. 2000.

RECOMENDACIONES AL MAESTRO DEL CURSO:

• El material marcado con * es opcional (pero fuertamente recomendado). El resto del material es obligatorio.
• La mayoria del material obligatorio esta cubiero adecuadamente por cap. 6 y 13 de [BM]. Esto lo cubren tambien [H] en cap. 2,3,4 y [G] en cap. 1 y 2.

TEMARIO:

1. Grupos

   • *Motivacion: grupos de transfomaciones (simetrias del cuadrado [BM, 6.1]),

   • Conceptos basicos (para cubrirse a lo largo del semestre): grupo, orden de un grupo, grupo abeliano, subgrupo, subgrupo normal, grupo cociente, grupo simple, grupo ciclico, homomorfismo e isomorfismo, isomorfismo interno, kernel e imagen, producto directo (*semi-directo), clase de conjugacion.

   • Ejemplos basicos: grupos de permutaciones, Z, Z_n, Z_n^*, los grupos diedricos [BM, 6.6, ej. 10], grupos de orden pequeño.

   • *Otros ejemplos: grupos de simetria de los solidos platonicos.

   • Teorema de Lagrange [BM, 6.8] [H, 2.4] y teorema de Euler-Fermat.

   • Los teoremas de isomorfismos [BM, 6.13] [H, 2.7]

   • Estructura de grupos abelianos finitos [G, I.8], [H2, 2.14]

   • *Estructura de grupos abelianos finitamente generados [???]

   • Grupos de permutaciones: teorema de Cayley [BM, 6.5] [H, 2.5], *accion de grupo en un conjunto [BM, 6.1], descomposicion en ciclos [BM, 6.9].

   • *Los teoremas de Sylow.

    

2. Anillos
   • Conceptos basicos (para cubrirse a lo largo del semestre): anillo (sin/con unidad), anillo conmutativo, subanillo, ideal, anillo cociente, homomorfismo de anillos, kernel, dominio entero, dominio de ideales principales, dominio euclideano, ideal maximo, campo, campo de cociente de un dominio integral, campo de cociente de un anillo mod ideal maximo.

   • Ejemplos basicos: Z_n, anillos de polinomios, anillos de matrices, campos.

   • Los teoremas de isomorfismos [H, 4.3].

   • Polinomios [BM, 3] [H, 4.5-4.7]: Divisibilidad (algoritmo de division), Irreducibilidad (criterios de Gauss y Eisenstein), factorizacion unica, *fracciones parciales [BM, 3.11].

   • El teorema chino del residuo

   • *El teorema fundamental de polinomios simetricos

BIBLIOGRAFIA:

• [BM] G. Birkhoff, S. MacLane, "A Survey of Modern Algebra", 4ta Edicion, MacMillan, 1977, NY.
• [H] I.N. Herstein, "ALgebra Abstracta", Gpo. Editorial Iberoamerica, 1986, Mexico.
• [H2] I.N. Herstein, "Topics in Algebra", Wiley & Sons, Second Edition, 1975, NY.
• [G] L. Grove, "Algebra", Academic Press, 1983, London.