CLAVE:MAT-111 y MAT-112 respectivamente.

SEMESTRE DE UBICACION: Primero y segundo.

AREA: Análisis

PRE-REQUISITOS: Ninguno.

PREPARADO POR: Luis Hernandez, Adolfo Sanchez, Aug. 2000.

RECOMENDACIONES AL MAESTRO DEL CURSO:

• El material marcado con * es opcional. El resto del material es obligatorio.

• Se espera un alto nivel de rigor desde el principio. Ejemplo: el libro [Sp]. Contraejemplo: el libro [Si] (aunque contiene cierto material complementario bonito).

• A continuación se detalla el temario de los cursos de cálculo 1 y 2 pensados como una unidad de un año de duración.

• Existe cierta flexibilidad en el orden en que se presenta el material; por ejemplo, sucesiones (e incluso series) se puede ver antes de continuidad.

• Existe, también, flexibilidad en la división entre Cálculo 1 y 2, sin embargo vale la pena mencionar que algunos temas son prerrequisitos de otros cursos del segundo semestre (e.g. series se usa en Elementos de Probabilidad y Estadística).

TEMARIO DE CALCULO 1:

1. PRECALCULO

   • Un poco de lógica matemática: implicación, negación, cuantificadores; ejemplificar su uso al repasar los siguientes conceptos de geometría elemental: semejanza de triángulos, teorema del ángulo central, trigonometría.

   • Conjuntos: intersección, unión, complemento.

   • Funciones: definición, inyectiva, sobre y biyectiva, composición; cardinalidad y conjunto numerable. Probar que |Q|=|N| y que |R|>|N|.

   • *Prueba de Cantor de la existencia de números trascendentes.

   • Inducción matemática.

2. NÚMEROS REALES

   • Los reales: N, Z, Q, axiomas de los reales, axioma del supremo. Valor absoluto, intervalos.

   • El plano: R². La ecuación de una recta, distancia.

   • Funciones reales: definición y ejemplos. Sumas, productos y composición de fuciones. Polinomios, funciones racionales, algebraicas, otras. sin y cos. Gráficas. Cónicas y sus gráficas.

3. LIMITES Y CONTINUIDAD

   • Interpretación geométrica del significado de derivada. Ejemplos.

   • Límites: Definición. Ejemplos. Unicidad. Aritmética de límites. Más ejemplos. Límites de funciones racionales en + y - infinito. El lim_x->0sin x/x.

   • Continuidad: Definición. Ejemplos. Aritmética de funciones continuas. Composición. ``Toda función continua sobre un intervalo cerrado es acotada''. ``Toda función continua sobre un intervalo cerrado alcanza su max y min''. Teorema del valor intermedio. Teorema del punto fijo en [0,1]. Otras aplicaciones.

4. DERIVADAS

   • Diferenciación: Definición de derivada. Recta tangente. Derivadas. Teoremas sobre suma, producto y cociente de derivadas. Ejemplos.

   • Regla de la cadena.

   • Máximos y mínimos: Puntos críticos. Max y min local. Concavidad y puntos de inflexión.

   • Teorema del Valor Medio, Regla de L'Hopital.

   • *Teorema de Liouville (ejemplos de números no algebraicos).

   • Aplicaciones: Diferenciación implícita, problemas de máximos y m\'inimos, aplicaciones de regla de la cadena (problemas tipo: ``Una bola de naftalina se evapora a una razón proporcional a su superficie. Muestra que su radio decrece a razón constante'', etc).

   • Gráficas de funciones identificando dominio, max y min, puntos silla, puntos de inflexión, concavidad, intervalos donde crece o decrece, comportamiento al infinito, comportamiento cerca del complemento de su dominio, etc. Introducir la función exponencial (e.g. como función derivable en 0 y que es homomorfismo de (R , +) en (R⁺ , ^. ).

   • Funciones inversas: Teoremas de existencia para funciones continuas y diferenciables. Derivada de la inversa. Ejemplos, en particular log, funciones trigonométricas inversas, etc.

5. SUCESIONES Y SERIES

   • Sucesiones: Convergencia, la definicion de continuidad en terminos de sucesiones, aritmética de sucesiones, ``sucesión monótona y acotada converge'', ejemplos.

   • Series: Convergencia, series geométricas, criterios de convergencia; suma de a_n converge implica a_n->0; Comparación, razón y raíz. La serie armónica, p-series, ejemplos; series alternantes.

   • *definición de e como serie (suma de 1/n!); *demo que e es irracional.

   • *Completez de R: Sucesiones de cauchy, axioma del supremo, propiedad arquimediana, Bolzano-Weierstrass.

TEMARIO DE CALCULO 2:

1. INTEGRAL DE RIEMANN

   • *Motivacion [Si, apendice A.2 - A.4]: cálculo de áreas por exhaución; teoremas de Arquímedes e Hipócrates, teorema de Fermat, calculando área bajo la curva x^r (r racional).

   • Integral de Riemann: definición de función integrable e integral, ejemplos, ``funcion continua ==> integrable", aritmética de las funciones integrales, desigualdad de Cauchy-Schwartz.

2. TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CALCULO

   • El teorema fundamental del cálculo: primer y segundo teoremas fundamentales del cálculo, primeras aplicaciones al cálculo de integrales, derivada de funciones tipo f(x)=\int_{g(x)}^{h(x)}{u(t)dt}.

   • Funciones trigonométricas: definición de pi (= área del disco unidad), definción formal de sin(x) y cos(x), otras funciones trigonométricas y sus inversas, caracterización de sin(x) y cos(x) como soluciones de y''+y=0.

   • * demo que pi es irracional, fórmula de Vieta.

   • Prueba de la integral para series.

   • El logaritmo y la exponencial: definición formal de log(x) como integral de 1 hasta x de dt/t, propiedades de log(x), gráfica, definición de exp como la inversa de log, definición de e, a^x para a>0 y x real, leyes de los exponentes, derivada de a^x, gráficas, caracterización de e^x via y' =y, algunos límites importantes (e.g. (1+1/x)^x cuando x va al infinito), e^{-1/x^2}, cosh y sinh.

3. METODOS DE INTEGRACION Y APLICACIONES

   • Aplicaciones: problemas de crecimiento de población, ley de enfriamiento de Newton, radioactividad.

   • Métodos de integración: por partes, cambio de variable, trigonométricas (*aplicación: producto de Wallis), racionales (fracciones parciales), sustitución trigonométrica, completando cuadrado, muchos ejemplos, función Gama.

   • *Funciones que no pueden integrarse por métodos elementales: teoremas (sin demostración) de Liouville y Chebyshev.

   • *(Esto posiblemente va en el curso de cómputo) Integración numérica: método del trapecio y de Simpson, estimación del error en teérminos de |f⁽²⁾| y |f⁽⁴⁾|. resp. Cálculos usando Mathematica.

   • Aplicaciones de la integral: área entre curvas, longitud de gráficas.

   • Mas Aplicaciones de la integral (se pospone las pruebas a Cálculo 3 y 4): volumen y área de un sólido de revolución, volúmenes via integración de área de secciones transversales (e.g. volumen de elipsoide, tetraedro, etc).

4. TEOREMA DE TAYLOR

   • Teorema de Taylor: aproximación mediante polinomios, polinomio de Taylor, Teorema de Taylor, aplicaciones tipo ``calcular la raiz cuadrada de e con un error menor a 0.001", y ``calcular la integral entre 0 y 1 de e^{-x^2}dx con error menor que 0.0001, etc., polinomio de taylor de exp, log, sin, cos, arctan, etc. Binomio de Newton de (1+x)^a para a real.

   • *demo que e no es algebraico.

   • Convergencia uniforme y series de potencias: convergencia uniforme vs puntual, convergencia uniforme e integración, convergencia uniforme y continuidad, convergencia uniforme y diferenciación, series de funciones, Weierstrass M-test, ejemplo de función continua que no es diferenciable en ningún sitio, series de potencias, convergencia, integración y diferenciación de series de potencias, serie de Taylor, unicidad, suma, producto, cociente y composición de series de potencias (*demostraciones correspondientes a los teoremas anteriores)

   • SUGERENCIA: no se espera que el profesor cubra con profundidad los temas de series y sucesiones de funciones, solo lo necesario para aplicarlo a series de potencias, ver e.g. Spivak);

   • *concepto de función analítica, *ejemplo de e^{-1/x^2}.

BIBLIOGRAFIA:

• [Sp],M. Spivak, "Calculus"

• [Si], G. F. Simmons, "Calculus with Analytic Geometry", McGraw-Hill, 1976.