Matemáticas elementales


Semestre: ago-dic 2017

Profesor: Gil Bor, oficina I307 (antes F-1), ext. 4500, gil@cimat.mx

Horario:

  • clase: lunes y miercoles de 12:30-1:50, salon D-5 del Demat.
  • sesión de problemas: viernes, 3:00-4:20pm.
  • Horarios de consulta con el profesor: miercoles 2-3pm, en el salon de clase. O por cita.

Ayudantes: Gustavo Adolfo García Gutiérrez y Francisco Gómez,
gustavo.garcia@cimat.mx, francisco.gomez@cimat.mx


Temario : ver el temario oficial: largo | breve (aunque no seguimos el orden necesariamente).
Bibliografía:
  • Courant y Robbins, "What is mathematics?". PDF
    (La última edición en español se puede comprar en internet aqui .)
  • K. H. Rosen, "Discrete Mathematics and Its Applications". PDF
  • Nim, A Game with a Complete Mathematical Theory, Charles L. Bouton, The Annals of Mathematics, Second Series, Vol. 3, No. 1/4 (1901 - 1902), pp. 35-39. PDF
  • Teoría de números:
    • Notas sobre teoría de números: PDF
    • la llave pública RSA
      (notas sobre la aplicación de la teoría de números a la criptología)

Tarea :
    La tarea es la parte más importante del curso (más que la asistencia a la clase). La tarea aparece en la página del curso cada viernes o sábado y se entrega cada viernes a las 3:00pm (al inicio de la sesión de problemas), físicamente o escaneada por email al ayudante. Si no entregaste una tarea a tiempo, o parte de una tarea (un problema o más), tienes a más tardar hasta el inicio de la próxima clase (lunes a las 12:30) para entregar lo que falta. Tareas entregadas tarde cuentan cero para el promedio, pero de todos modos hay que entregarlas. Si no has entregado toda la tarea (todos los problemas, a tiempo o tarde) antes del examen parcial, NO puedes presentarlo.

Examenes: 2 examenes parciales y un examen final.
Calificación del curso: examenes parciales (30%), examen final (30%), tarea (30%; quitando las 2 peores), examenes rápidos, los 1eros 10 minutos de unas clases (10%; quitando los 2 peores).

Tabla de Calificaciones del curso: Excel


Bitácora

Calificacion de la tarea Excel
(tarea marcada en amarillo - entragada tarde; rojo - no entregada)

Fecha Material  Tarea  Comentarios
7-11 ago Representacion de enteros en distintas bases Tarea num. 1:
  • Leer las pp. 1-9 del libro de Courant y Robbins (ver la sección de bibliografía arriba)
  • Hacer los siguientes problemas de estas páginas: problemas 2,3,4 de la p. 8 y el problema de la p. 9 (4 problemas en total).
  • Para el viernes 11 ago
    14-18 ago Representacion de enteros en distintas bases; inducción Tarea num. 2:
  • Leer las pp. 9-20 de Courant y Robbins.
  • Hacer los problemas 1-10 de las pp. 17-18 (10 problemas en total).
  • Reto (opcional): ¿Cuántos enteros hay, entre 1 y 1 millon, cuyo desarrollo decimal no incluye el dígito 7?
  • Para el viernes 18 ago
    21-25 ago Aritmetica modular (conguencias) Tarea num. 3:
    • Del libro de Rosen (ver la bibliografia arriba), pp. 244-245: 2, 3, 4, 8,11c, 12c, 13ef, 24c, 25c, 27, 37, 45, 46.
    • Encontrar el último dígito de a2017, para a=2,3,4,5,6.
    • Reto (opcional)
    Para el viernes 25 ago
    28 ago - 1 sep Aritmetica modular, Primos Tarea num. 4, del libro de Rosen:
    • Leer seccion 4.3, pp. 257-272
    • pp. 272-274: 1, 4, 5, 11, 12, 14, 15, 25, 27, 33, 49, 54, 55.
    • Reto: p.272, problema 6 (opcional)
    Para el viernes, 1 sept.
    4-8 sep El algoritmo de Euclides, la función de Euler Tarea num. 5, del libro de Rosen:
    • pp. 272-274: 16, 19, 21, 22, 23, 28, 31, 39, 50, 53.
    • Reto (opcional): demuestra que existe una infinidad de primos de la forma 4k+1.
    Para el viernes, 8 sept.
    11-15 sep El Teorema Chino de Residuos, El pequeñ'o teorema de Fermat Tarea num. 6, del libro de Rosen:
    • pp. 284-285: 1, 5, 7, 8, 11, 13, 19, 31, 32, 33.
    • Reto (opcional): Si $(a,b)=1$ entonces $\phi(ab)=\phi(a)\phi(b).$ Usa esto para encontrar $\phi(100)$ (el numero de los enteros entre 0 y 99 que son primos relativos a 100).
    Para el viernes, 15 sept.

    Nota para tareas entregadas por email: Por favor enviarla en un solo archivo de pdf, a los dos ayudantes

    18-22 sep El Algoritmo de RSA Tarea num. 7, del libro de Rosen:
    • pp. 285-286: 20, 27, 29, 30, 35-38, 40, 50, 51, 54-57 (15 problemas).
    • Reto (opcional): Encontrar todas las soluciones enteras de $x^{2017}+55y=1.$
    Para el viernes, 22 sept.

    Nota para tareas entregadas por email: Por favor enviarla en un solo archivo de PDF, a los dos ayudantes

    25-29 sep Teoría de conjuntos Tarea num. 8, del libro de Rosen:
    • Leer la sección 4.6 (pp. 294-303)
    • pp. 305: 24-32 (9 problemas).
    • Reto (opcional): para todo entero $n>0$ se define a $F_n$ como el conjunto de los números racionales entre 0 y 1 que se puede escribir con denominador $\leq n$. Por ejemplo, $F_4=\{0,1/4,1/3,1/2,2/3,3/4,1\}$ (7 elementos) y $F_5=\{0,1/5,1/4,1/3,2/5,1/2,3/5,2/3,3/4,4/5,1\}$ (11 elementos). Nota que $11-7=4=\phi(5)$, donde $\phi$ es la función de Euler. Demuestra que $\# F_{n}-\# F_{n-1}=\phi(n).$
    Para el viernes, 29 sept.
    2-6 oct Teoría de conjuntos Examen parcial num 1: miercoles, 4 oct. Guia

    Tarea num. 9, del libro de Rosen:

    La tarea num 9 es para el viernes, 6 oct.
    9-13 oct Teoría de conjuntos

    Tarea num. 10, del libro de Rosen:

    • pp. 136-137: 16,20,30,50,51.
    • pp. 152-5: 20,28,29
    • pp. 187 (suplementarios): 1,2,3,5-10,13.
    • Reto(Opcional): p.155, problema 80
    Para el viernes, 13 oct.
    16-20 oct Teoría de conjuntos

    Tarea num. 11, del libro de Rosen:

    • pp.176-177: 1bf, 2ae, 4b, 9, 10, 11, 12, 15, 17, 18, 19, 21, 23, 25, 27, 30, 31, 32.
    Para el viernes, 20 oct.
    23-27 oct No hay clases (semana del congreso de la SMM) Tarea num. 12,
    • Dar una demostración detallada de la existencia de números algebraicos, demostrando que (a) el conjunto de los números algebraicos es numerable, (b) el conjunto de los números reales no es numerable. Para (b), demuestra que el conjunto de los numeros reales tiene la misma cardinalidad que el conjunto potencia de los naturales.
    • del libro de Rosen, cap. 8, p.186-188 :4, 5, 8, 9, 10, 28, 32-34.
    • Reto (Opcional): demuestra el teorema de Schroder-Bernstein: $|A|\leq |B|,|B|\leq |A|$ implica $|A|=|B|$. Ver la demostración en Wikipedia (en ingles).
    Para el viernes, 3 nov.
    6-10 nov Combinatorica Tarea num. 13: Del libro de Rosen,
    • p. 396: 22, 25, 34, 37, 41.
    • p. 405: 7, 10, 13, 33, 45.
    • Reto (IMO 72), opcional: muestra que de un conjunto de diez numeros distintos, de dos digitos, es posible elegir dos subconjuntos disjuntos cuyos elementos sumen lo mismo.
    Para el viernes, 10 nov.
    13-17 nov Gráficas Tarea num. 14:
    • Del libro de Rosen, p.421 8, 12, 15, 24, 27, 31, 33
    • Reto, opcional: pinta el triángulo de Pascal como un triángulo rectángulo (ie, los 1's de la izquierda colocados verticalmente). Da una prueba rigurosa de que la suma de las diagonales (a 45 grados) da la sucesión de Fibonacci: 1,1,2,3,5,8,13,...

    Examen Parcial num. 2: 22 nov. Guia:
    1. Teoria de numeros: guia resuelta del parcial num 1.
    2. Teoria de conjuntos, Libro de Rosen:
    - pp.186-187, review problems: 4,5,8,10
    - pp 187-188, suplementary problems: 2-10, 13, 32-34.

    Para el viernes, 17 nov.
    20-24 nov 2ndo parcial Tarea num. 15: Del libro de Rosen,
    • p. 665: 1-6, 30, 60.
    Para el viernes, 24 nov.
    27 nov - 1 dic Graficas planares Guia para el examen final (7 dic, 12:30pm):
    • Teoremas (formular y demostrar):
      • El conjunto de los racionales es numerable
      • Para todo conjunto A, |P(A)|>|A| (prob 40, p.177)
      • El teorema fundamental de la aritmetica (p. 258)
      • El teorema chino de residuos (p.278)
      • El teorema de matrimonios de Hall (p. 659)
    • Problemas de repaso:
      • p. 186 (rev.): 4, 5, 8, 9, 10, 15, 16.
      • p. 186 (supp.): 2, 3, 6, 10, 13, 34.
      • p. 307 (rev.): 5, 11, 12, 13, 15.
      • p. 307 (supp.): 13, 24, 25, 29, 37, 39, 40, 41.
      • p. 441: 3, 8, 10, 12, 15, 18, 19, 29, 36, 37, 39, 41.
      • p. 665: 6, 18, 19, 31.
      • p. 725: 11, 12.
      • p. 738: 3, 4, 5.