MATERIA: Lógica Matemática

CLAVE: COMP-460

SEMESTRE DE UBICACION: Cuarto

AREA: Matemáticas

OBJETIVOS: Este curso tiene como objetivo principal una exposición rigurosa de los teoremas de incompletud de la aritmética, debidos a Kurt Gödel. Para desarrollar esta exposición es necesaria una presentación de la aritmética recursiva (funciones y relaciones recursivas) y de un sistema formal para representarla

TEMARIO:

  1. Introducción y conceptos básicos

    • Sistemas formales de primer orden y teorías de primer orden

    • Estructuras, satisfacción, verdad y validez universal

    • Definibilidad de estructura. Teorema de Isomorfismo

    • Los Teoremas de Completud y de Lowenheir-Skolem para la lógica de primer orden

    • Teorías completas, categorías axiomatizables. Finitamente axiomatizables, efectivamente numerables y decidibles

    • Prueba de Vaught. Otros criterios de completud

  2. Aritmética recursiva

    • Funciones y relaciones recursivas de m argumentos (m ł 1)

    • Definibilidad en á N, <, s,+,· ,0ñ y subestructuras de esta

    • La función exponenciación y la estructura N = á N, <, s,+,· ,E,0>

  3. La teoría formal AE para la aritmética

    • El lenguaje formal de AE y los axiomas de AE

    • Definibilidad en N y representabilidad en AE

    • Catálogo de funciones y relaciones representables en AE

  4. Aritmetización de la Sintaxis y teoremas de Gödel

    • Números de Gödel y Gödelización de la meta-teoría

    • Lema diagonal de Gödel

    • Teorema de indefinibilidad de Tarski

    • Primer teorema de Incompletud. Indecibilidad fuerte de AE. Teorema de Church. Teorema de Gödel-Rsser

    • El teorem de Löb. El segundo teorem de Gödel

BIBLIOGRAFIA:

  • Enderton, H.B., A mathematical introduction to logic, Academic Press, 1972

BIBLIOGRAFIA COMPLEMENTARIA:

  • D long, H. A profile of Mathematical Logic, Addison Wesley, 1970

  • Gödel, K., On formally undecidable propositions of Principia Mathematica and related systems I, From Frege to Gödel, Editor Van Heijencort, Cambridge, Mass. 1967

  • Mendelson, E. Introduction to Mathematical Logic, 3er. Edition, Van Nostrand, 1982

  • Preisser, A., Limitaciones Gödelianas de la aritmétoca formalizada, Tesis de Licenciatura UNAM, 1983