CLAVE: MAT-121

SEMESTRE DE UBICACION RECOMENDABLE: Segundo

AREA: Geometría

OBJETIVOS: Estudiar la Geometría tanto en dos como en tres dimensiones. Presentar la Geometría como una ciencia axiómatica y deductiva. Algunos de los conceptos introducidos aquí se concentrarán con los cursos de álgebra lineal.

TEMARIO:

1. Los Dos Conceptos Fundamentales de Descartes
• El concepto de coordenadas
• Representación de ecuaciones algebraicas como curvas planas
2. Vectores en el Plano
• Operaciones vectoriales. Representación Geométrica
• Producto punto
• Longitud. Distancia entre dos puntos
• Angulo entre dos vectores. Ortogonalidad
• Proyección ortogonal
• Ecuación paramétrica de curvas en el plano

 

3. Lineas y Segmentos de Linea en el Plano
• Ecuación general, normal y paramétrica de una linea
• Angulo entre dos lineas. Intersección y paralelismo
• Distancia de un punto a una recta
• Rayos y segmentos

 

4. Círculos
• Ecuación general
• Trigonometría en relación al círculo Angulo geométrico
• Orientación del plano
• Intersección de un círculo con una recta Tangencia
• Intersección de los círculos
5. Coordenadas polares
• Definición e interpretación geométrica
• Curvas polares
• Transformación de ecuaciones de coordenadas polares a rectangulares y viceversa
6. Transformaciones Rígidas del Plano
• Translaciones
• Representación matricial de rotaciones y reflecciones
• Clasificación

 

7. Las Secciones Cónicas
• Definición: Las esferas de Dandelín
• Ecuaciones Cartesianas
• Ecuaciones polares. Excentricidad y directrices
• La forma canónica de la ecuación cuadrática general en dos variables

 

8. Vectores en el Espacio
• Operaciones vectoriales. Representación geométrica
• Producto punto. Desigualdad de Schwarz
• Longitud, ángulo y ortogonalidad
• Cosenos directores
• Proyección ortogonal
• Igualdades y desigualdades concerniendo al producto punto
• Gram-Scmidt
• Bases. Bases ortogonales

 

9. Producto Cruz
• Definición. Interpretación geométrica
• Fórmula trigonométrica
• Forma del producto cruz como determinante
• Producto triple escalar. Interpretación geométrica
• Orientación del espacio
• Propiedades: La identidad de Jacobi

 

10. Lineas , Planos y Esferas
• Segmentos, rayos y líneas
• Ecuación de la línea
• Angulo entre dos líneas. Distancia entre dos líneas
• Planos
• Ecuaciones del plano. Normal a un plano
• Angulo entre dos planos. Intersección y paralelismo
• Distancia de un punto a un plano
• * Regla de Cramer para resolver sistemas líneales de tres ecuaciones
• Relación de un plano y R Esferas y planos tangentes
• * Proyección estereográfica

 

11. Superficies y Curvas
• Curvas
• Superficies
• Cilindros
• Superficies de revolución
• Coordenadas cilíndricas y esféricas

 

12. Transformaciones Rígidas del Espacio
• Translaciones, rotaciones y reflecciones
• Representación matricial

 

13. Superficies Cuadráticas
• Reducción de la ecuación general de una superficie cuadrática a la forma canónica
• Superficies centrales
• Superficies no centrales no degeneradas (Paraboloides)
• Superficies cilíndricas degeneradas

NOTA: * Estos temas se darán según las circunstancias del grupo y del tiempo

BIBLIOGRAFÍA BÁSICA:

• Preston. "Modern Analytic Geometry". Harper and Row, 1971.

BIBLIOGRAFIA COMPLEMENTARIA:

• Beaumont, Pierce. "The Algebraic Fondations of Mathematics". Addison Wesley, 1963.
• Delone. "Analytic Geometry", in: Aleksandrov (editor): Mathematics: its content, methods and meaning. MIT Press, 1965.
• Hilbert. "Geometry and the Imagination". Chelsea, 1952.
• Lawrence. "A Catalog of Special Plane Curves". Dover, 1972.
• Modenov. "Geometric Transformations". Vols. I y II. Academic Press, 1965.