ALGEBRA LINEAL - II

1^{a} Lista de ejercicios

1. Sea A la matriz diagonal

A = (\begin{matrix}a_{1} & 0 & ⋯ & 0 \\ 0 & a_{2} & ⋯ & 0 \\ ⋮ & ⋮ & & ⋮ \\ 0 & 0 & ⋯ & a_{n} \end{matrix})

Calcule el polinomio característico de A y los autovalores de A y los vectores propios de A.

2. Sea A una matriz triangular

A = (\begin{matrix}a_{11} & 0 & ⋯ & 0 \\ a_{21} & a_{2} & ⋯ & 0 \\ ⋮ & ⋮ & & ⋮ \\ a_{n1} & a_{n2} & ⋯ & a_{nn} \end{matrix})

Calcule el polinomio caracteristico de A y los autovalores de A.

3. Calcule los valores propios y encuentre bases de los espacios propios de las siguientes matrices:

\begin{matrix}(a) & (\begin{matrix}2 & 4 \\ 5 & 3 \end{matrix}) \\ (d) & (\begin{matrix}−1 & 2 & 2 \\ 2 & 2 & 2 \\ −1 & −6 & −6 \end{matrix}) \end{matrix} \begin{matrix}(b) & (\begin{matrix}1 & 2 \\ 2 & −2 \end{matrix}) \\ (e) & (\begin{matrix}3 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & −1 \end{matrix}) \end{matrix}  \begin{matrix}(b) & (\begin{matrix}3 & 2 \\ −2 & 3 \end{matrix}) \\ (e) & (\begin{matrix}−1 & 4 & −2 \\ −3 & 4 & 0 \\ −3 & 1 & 3 \end{matrix}) \end{matrix}

4. Calcule los valores propios y los vectores propios de la matriz A = [\begin{matrix}a & −b \\ b & a \end{matrix}].

¿Cuándo los autovalores y/o los vectores propios son reales?

5. Muestre que la matriz de una rotación R en ℝ^{2} no tiene valores propios reales, salvo cuando R = ±I.

6. Encuentre la dimensión de los espacios propios de los cuatro autovalores de la matriz de unos y la matriz de tablero de ajedrez:

A = [\begin{matrix}1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \end{matrix}] T = [\begin{matrix}0 & 1 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 1 & 0 \end{matrix}]

¿Cuáles son el rango r y los valores propios de A y T cuando las matrices son n × n? Recuerde que el valor propio λ = 0 aparece repetido n − r veces.

7. Escoja una tercera fila para la matriz

A = [\begin{matrix}0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ · & · & · \end{matrix}]

de modo que su polinomio característico sea |A − λI| = −λ^{3} + 4λ^{2} + 5λ + 6.

8. Si la matriz A tiene valores propios 0, 1, 2 con vectores propios v_{0}, v_{1}, v_{2}. Describa el núcleo y la imágen de A. Resuelva la ecuación Ax = v_{1} + v_{2}. Muestre que Ax = v_{0} no tiene solución.

9. Sea A ∈ ℝ^{n} × n una matriz n × n. Suponga que el polinomio característico de de A tiene n raices diferentes. Muestre que ℝ^{n} tiene una base formada por vectores propios de A.

10. Sea A una matriz cuadrada. Muestre que los valorws propios de su transpuesta A^{T} son los mismos que los de A, comparado sus polinomios característicos.

11. Sea A una matriz invertible. Si λ es un autovalor de A, muestre que λ ≠ 0 y que λ^{−1} es un autovalor de A^{−1}. Encuentre los vetores propios de A^{−1}.

12. Sea V el espacio generado sobre ℝ por las dos funciones sen t y cos t. ¿La derivada, vista como transformación lineal de V, tiene algún vector propio no nulo? Si los tiene, ¿cuáles son?

13. Denote por D la derivada vista como transformación lineal del espacio de funciones diferenciables. Sea k un entero ≠ 0. Muestre que las funciones sen kx y cos kx son vectores propios de D^{2}. Calcule sus valores propios.

14. Sea A : V → V una transformación lineal de V en símismo. Sea {v_{1}, …, v_{n}} una base de V formada por vectores propios distintos. Muestre que cualquier vector propio de A es un múltiplo escalar de algún v_{i}. Muestre que esto ya no es verdad cuando hay un autovalor repetido.

15. Sean A, B dos matrices cuadradas del mismo tamaño. Muestre que los valores propios de AB son los mismos que los valores propios de BA.