2DA. LISTA DE ALGEBRA LINEAL II

1. Si

\frac{d}{dt} (\begin{matrix}x \\ y \end{matrix}) = [\begin{matrix}0 & 4 \\ −1 & 4 \end{matrix} ] · (\begin{matrix}x \\ y \end{matrix})

y x(0) = 1, y(0) = 2, calcule x(3) e y(3).

2. Calcule A^{30} y B^{20}, donde A = [\begin{matrix}0 & 4 \\ −1 & 4 \end{matrix} ], B = [\begin{matrix}2 & 1 \\ −1 & 2 \end{matrix} ] .

3. Escriba las siguientes matrices en forma canónica de Jordan.

[\begin{matrix}0 & 4 \\ −1 & 4 \end{matrix} ], [\begin{matrix}1 & 1 & −1 \\ 0 & 2 & −2 \\ 0 & 1 & −1 \end{matrix}], [\begin{matrix}1 & 1 & −1 \\ 0 & −1 & 4 \\ 0 & −1 & 3 \end{matrix}], [\begin{matrix}−1 & 5 & 0 \\ −2 & 5 & 0 \\ 2 & −1 & 3 \end{matrix}],

[\begin{matrix}0 & 0 & 1 & 0 \\ −2 & 0 & 0 & 3 \\ −1 & 0 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & −2 & 0 \end{matrix}].

4. Calcule e^{At} para cada una de las matrices A en el item anterior y haga un diagrama de todas las soluciones de X′ = AX.

5. Construya una matriz 3 × 3 tal que la sucesion X_{n+1} = AX_{n}, X_{0} = (1, 0, 0) sea acotada.

6. Construya una matriz A, 3 × 3 tal que las suceciones X_{n+1} = AX_{n}, X_{0} = (1, 0, 0); Y_{n+1} = AY_{n}, Y_{0} = (2, 1, 1), satisfagan lim_{n→+∞} X_{n} = 0 y lim_{n→+∞} ∥Y_{n}∥ = +∞.

7. Construya una matriz A, 3 × 3 tal que las soluciones de \frac{d}{dt}X(t) = AX(t), X(0) = (1, 0, 0); \frac{d}{dt}Y (t) = AY (t), Y (0) = (2, 1, 1), satisfacen lim_{t→+∞} X(t) = 0 y lim_{t→+∞} ∥Y (t)∥ = +∞.

8. Construya una matriz A, 3 × 3 tal que las soluciones de

\frac{d}{dt}X(t) = AX(t)

satisfacen

(a) X(t) es acotada si X(0) está en el plano x + y + z = 0.

(b) lim_{t→+∞} X(t)/∥X(t)∥ = (1, 1, 1) si X(t) no está en el plano x + y + z = 0.

Date: 28 de abril del 2000.