ALGEBRA LINEAL II 2DA. LISTA DE EJERCICIOS

1. Encuentre la matriz de una bilineal simétrica en ℝ^{3} que sea negativa definida en el subespacio

E = {(x, y, z) ∈ ℝ^{3} | x + y + z = 0 },

pero que tenga índice 2.

2. Encuentre los ejes de la elipse x^{2} − 2xy + 6y^{2} = 4.

3. Dibuje las cónicas x^{2} − 4xy − y^{2} = 4, 2x^{2} − 3xy = 5.

4. Dibuje el gráfico de la función f(x, y) = x^{2} − 4xy − y^{2}.

5. Dada la forma cuadrática

q(x_{1}, x_{2}, x_{3}) = x_{1}^{2} − 2 x_{1}x_{2} + 2 x_{2}x_{3} + x_{3}^{2},

encuentre un cambio de coordenadas lineal \overline{y} = A \overline{x} tal que q(·) quede de la forma

q(y_{1}, y_{2}, y_{3}) = c_{1} y_{1}^{2} + c_{2} y_{2}^{2} + c_{3} y_{3}^{2}.

Dibuje el nivel \{ \overline{x} ∈ ℝ^{3} | q(\overline{x}) = 3 \}.

6. Considere una bilineal Φ en ℝ^{n}, no necesariamente simétrica, tal que Φ(x, x) > 0 para todo vector x ≠ 0. Construya una base de ℝ^{n} en la que la matriz de Φ tenga la forma

[\begin{matrix}1 & k_{1} \\ −k_{1} & 1 \\ & & . & . & . \\ & & & & & 1 & k_{p} \\ & & & & & −k_{p} & 1 \\ & & & & & & & 1 \\ & & & & & & & & . & . & . \\ & & & & & & & & & & & 1 \end{matrix}]

Sugerencia: Descomponga

Φ = Φ_{1} + Φ_{2}, con

Φ_{1}(x, y) = \frac{1}{2} [ Φ(x, y) + Φ(y, x) ]

Φ_{2}(x, y) = \frac{1}{2} [ Φ(x, y) − Φ(y, x) ].

21 de Junio, 2000.

2  ALGEBRA LINEAL II  2DA. LISTA DE EJERCICIOS

7. Dibuje el conjunto delos pares (a, b) ∈ ℝ^{2} tales que

q(x, y, z) = 2 x^{2} + 2a xy + y^{2} + 2b yz + z^{2}

sea definida positiva.

8. Determine la dimensión de los siguientes espacios vectoriales y encuentre una base para cada uno:

(a) T^{(}ℝ^{)}, k-tensores en ℝ^{n}.

(b) Bilineales antisimétricas ℝ^{n} × ℝ^{n} → ℝ.

(c) Multilineales ℝ^{2} × ℝ^{3} × ℝ^{2} → ℝ^{3}.

(d) Λ^{k}(ℝ^{n}), k-tensores alternantes en ℝ^{n}.

9. Demuestre la Regla de Cramer:

Si { v_{1}, …, v_{n} } es una base de ℝ^{n} y ∑_{i=1}^{n} x_{i} v_{i} = b, entonces

x_{i} = \frac{det(v_{1}, …, v_{i−1}, b, v_{i+1}, …, v_{n})}{det(v_{1}, …, v_{n})} ·

Sugerencia: Escriba b = ∑_{j} y_{j} v_{j}.

10. Si A es una matriz definida positiva, entonces A^{−1} existe y es definida positiva.

11. Sea E = { f(x) = c_{0} + c_{1} e^{ix} + c_{2} e^{2ix} + c_{3} e^{3ix} | c_{i} ∈ ℝ }. Encuentreuna base ortonormal de E.

12. (a) Resuelva F_{4}c = y donde y = (2, 0, 2, 0) y F_{4} es la matriz de

Fourier.

(b) Resuelva F_{4}c = y para y = (2, 0, −2, 0), conociendo F_{4}^{−1} y calculando c = F_{4}^{−1}. Verifique que c_{0} + c_{1}e^{ix} + c_{2}e^{2ix} + c_{3}e^{3ix} toma los valores 2, 0, −2, 0 en los puntos x = 0, \frac{π}{2}, π, \frac{3π}{2}.

13. Calcule y = F_{8}c por los tres pasos de la Transformada Rápida de Fourier si c = (1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0). Repita el cálculo para c = (0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1).