EJERCICIOS DE EXÁMENES PASADOS

1. Prueba que el cero en el sistema

Ẋ = ( \begin{matrix}−1 & 0 \\ 0 & 3 \end{matrix} )

no es estable asintóticamente, ni estable según Liapunov.

2. Considera la ecuación diferencial

\frac{dy}{dx} = 3xy + \frac{y}{1 + y^{2}} .

Prueba:

(a) Para cada n ∈ ℕ, existe una única solución y = f_{n}(x) definida para 0 ≤ x ≤ 1 tal que f_{n}(0) = 1/n.

(b) lim_{n→∞} f_{n}(1) = 0.

3. Se dice que λ ∈ ℂ es un valor propio del problema

\begin{matrix}−y′′ = λy \\ y(0) = 0, y′(1) = 0 \end{matrix} \} (*)

si éste tiene soluciones no-triviales.

(a) Prueba que cada valor propio de (*) es no-negativo. (Sug.: Si y es una solución no-trivial correspondiente, considera el producto escalar ⟨−y′′, y⟩ en L^{2}.

(b) Encuentra todos los valores propios de (*).

4. Considere la ecuación diferencial

x′′ + x′ + x^{3} = 0

y considere la función f(x, x′) = (x + x′)^{2} + (x′)^{2} + x^{4}.

• Demuestre que f decrece a lo largo de las trayectorias que son soluciones de la ecuación diferencial.

• Demuestre que si x(t) es cualquier solución, entonces (x(t), x′(t)) tiende a (0, 0) conforme t → ∞.

5. Dada una función g ∈ L^{2}(ℝ) ∩ C^{∞}(ℝ) proporcione hipótesis para resolver la ecuación diferencial f′′ + kf = g (con k constante) empleando transformadas de Fourier. Obtenga una expresión para la solución f y explique cómo integrar en el plano complejo para obtener explícitamente f. Resuelva por este método la ecuación diferencial definida por g(x) = e^{−cx^{2}} (y elija c de manera que ĝ = g).

Jueves 16 de diciembre de 1993.

6. Resuelva el sistema de ecuaciones diferenciales siguiente

x′ = 2y + z ,  y′ = y + 3z ,  z′ = z + 4y

sujeto a la condición inicial x(0) = 0, y(0) = 1, z(0) = 0.

Viernes 17 de diciembre de 1993

7. La ecuación diferencial de Bessel de orden cero es

u′′ + \frac{1}{x}u′ + u = 0

• Esta ecuación diferencial tiene una solución en serie de potencias de la forma

u = 1 + ∑_{k=1}^{∞} c_{k}x^{2k}

Obtener una fórmula explícita para los coeficientes.

• Demuestre que esta serie de potencias converge para toda x • A partir de la ecuación diferencial, deduzca el comportamiento

oscilatorio de la solución general en el intervalo (0, ∞) (Sugerencia: considerar v = u\sqrt{x}).

• Si se plantea la ecuación diferencial sobre el campo de los números complejos, discuta cómo encontrar la solución general y cuál es la monodromía.

Miércoles 24 de enero de 1996.

8. Resuelve el problema

ẍ = −x + ẋ
x(0) = 1, ẋ(0) = 0.

9. Encuentra una ecuación diferencial de orden 2 que tenga como soluciones a f(x) = e^{x} y g(x) = x + x^{2}.

Jueves 25 de enero de 1996 10. Demuestra que la función

F (x, y) = \frac{y^{2}}{2} + \frac{x^{4}}{4} + \frac{x^{6}}{6}

decrece a lo largo de las soluciones (x(t), y(t)) de la ecuación diferencial

\frac{dx}{dt} = y, \frac{dy}{dt} = −by − x^{3} − x^{5}, b > 0.

Enero 1997

11. Sea f : ℝ^{n} → ℝ de clase C^{2}. Prueba que

i.: los puntos críticos del sistema ẋ = ∇f(x) coinciden con los puntos críticos de f; ii.: el sistema no tiene órbitas periódicas.

12. Considera la ecuación x′′ = − sin x. Describe y justifica lo más detalladamente posible el plano fase.

13. Encuentra dos soluciones de la ecuación y′′′ = y que satisfagan y(0) = 2.

14. Prueba que la solución del problema

15. Prueba que la solución del problema

ẋ = 1 + 5 cos x, x(0) = 7,

está definida en todo ℝ.

16. i.: Sean y_{1}, y_{2} : (a, b) → ℝ funciones de clase C^{2}. Si y_{1}, y_{2} son soluciones de la ecuación diferencial

(1)  y′′ + p(x)y′ + q(x)y = 0,

en (a, b), donde p, q : [a, b] → ℝ son continuas, prueba que

w(x) = Ce^{− ∫_{a}^{x} p(t) dt},

donde w(x) es el wronskiano de y_{1} y y_{2}. ii.: Si y_{1} es una solución no trivial de (1), prueba que la otra

solución se puede encontrar resolviendo la ecuación

(\frac{y_{2}}{y_{1}} )′ (x) = \frac{1}{y_{1}(x)^{2}} e^{− ∫_{a}^{x} p(t) dt}.

17. Resuelve el sistema

\begin{matrix}\frac{dx}{dt} = y & x(0) = 1 \\ \frac{dy}{dt} = z & y(0) = 2 \\ \frac{dz}{dt} = x & z(0) = 3 \end{matrix}

18. Encuentra todas las soluciones x : ℝ → ℝ de

ẋ = x^{1/3}, x(0) = 0.

Comenta este ejercicio a la luz del teorema de existencia y unicidad de ecuaciones diferenciales ordinarias.

19. Discute el comportamiento de las soluciones de la ecuación diferencial Ẋ = AX cuando t → ∞, si

a.: A = ( \begin{matrix}−1 & 0 & 0 \\ 0 & −3 & −4 \\ 0 & 4 & −3 \end{matrix} ).

b.: A = ( \begin{matrix}0 & −5 \\ 5 & 0 \end{matrix} ).

c.: A = ( \begin{matrix}−1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} ).

20. Considera la ecuación diferencial Ẋ = ∇f(X), con

f(x_{1}, x_{2}) = (x_{1} − 1)^{2}(x_{1} + 1)^{2} + x_{2}^{2}.

Encuentra los puntos críticos y describe la dinámica cerca de ellos.

21. Considera la ecuación

y′′(x) + (α − ∫_{0}^{1} (y′(x))^{2} dx) y(x) = 0

con y(0) = y(1) = 0.

i.: ¿Para qué valores de α, la ecuación tiene solución distinta de

la trivial? ii.: Si α es uno de los valores encontrados en i., encuentra la

solución (no trivial) de la ecuación diferencial.