EJERCICIOS DE E.D.O.

1. Sea f : ℝ^{n} → ℝ^{n} continua; suponga que |f(x)| ≤ M. Para cada n = 1, 2, …, sea x_{n} : [0, 1] → ℝ^{n} una solución de x′ = f(x). Si x_{n}(0) converge, muestre que la sucesión {x_{n}} converge uniformemente a una solución.

2. Use el problema 1 para mostrar que la continuidad en las condiciones iniciales de las soluciones sigue de la unicidad y la existencia de soluciones.

3. Considere la ecuación diferencial

x′ = x^{\frac{2}{3}}

(a) Muestre que existen infinitas soluciones con x(0) = 0 en cualquier intervalo [0, β].

(b) ¿Para qué valores de α existen infinitas soluciones en [0, α] que satisfacen x(0) = −1?

4. Sea g : ℝ → ℝ Lipschitz y f : ℝ → ℝ contínua. Muestre que el sistema

x′ = g(x),
y′ = f(x) y;

tiene a lo más una solución en cada intervalo para una condición inicial dada.

5. Muestre que las órbitas de una acción de ℝ^{2} en ℝ^{n} tienen que ser inmersiones inyectivas de un punto, un círculo, una recta, un toro, un cilindro o de un plano.

6. Considere el flujo lineal del toro 𝕋^{2} = ℝ^{2}/ℤ^{2}:

φ_{t}(x, y) = (x, y) + t (1, λ) mod ℤ^{2}.

(a) Si λ ∈ ℚ entonces toda órbita es periódica.

(b) Si λ ∈ ℝ\ℚ entonces toda órbita es densa en 𝕋^{2}. (Sugerencia: Muestre que todo subgrupo de S^{1} = ℝ/ℤ es discreto o denso y estudie la interseccion de la órbita de (0, 0) con ℝ/ℤ × {0}.

(c) Suponga que λ es irracional y considere un conjunto A ⊂ ℝ/ℤ × {0} que contenga exactamente un punto de cada órbita de φ_{t}. Muestre que A no es boreliano. (Sugerencia: considere los iterados de A por el tiempo 1 del flujo).

7. Si F : ℝ^{n} → ℝ^{n}, es un campo vectorial C^{2}, deduzca la ecuación diferencial que satisface la (matriz) derivada de su flujo: Dφ_{t}(x) = \frac{∂}{∂x}φ_{t}|_{x}.

8. Sea f : ℝ^{n} → ℝ de clase C^{2}. Muestre que el f(x(t)) es decreciente en soluciones de x′ = −∇f(x). Muestre que x′ = −∇f(x) no tiene soluciones periódicas.

9. Considere el sistema

\begin{matrix}x′ = \frac{∂}{∂y}H \\ y′ = −\frac{∂}{∂x}H \end{matrix} (1)

donde H(x, y) : ℝ^{n} × ℝ^{n} → ℝ es C^{∞}.

(a) Muestre que los conjuntos de nivel H^{−1}{a} son invariantes por las soluciones de (1).

(b) Muestre que si los conjuntos de nivel de H son compactos entonces el flujo φ_{t} de 1 está definido en todo t ∈ ℝ.

(c) Muestre que la derivada del flujo de (1): Dφ_{t}(x, y) · (h, k) = (h(t), k(t)), satisface la ecuación de Jacobi:

\begin{aligned}h′ & = H_{yx} h + H_{yy} k \\ k′ & = −H_{xx} h − H_{xy} k \end{aligned} (2)

(d) Muestre que el flujo de 1 preserva el volumen de ℝ^{2n}.

(e) Escriba 𝕍 := {0} × ℝ^{n}. Considere un subespacio n-dimensional E ⊆ ℝ^{2n} tal que E ∩ 𝕍 = {0}. Observe que E puede escribirse como un gráfico de una transformación lineal A : ℝ^{n} → ℝ^{n}.

E = graf(A) = {(x, Ax) | x ∈ ℝ^{n} }.

Si E(t) = Dφ_{t}(x) · E y E(t) = graf(A(t)), Muestre que A satisface la ecuación de Ricatti:

A′ + AH_{yy}A + AH_{yx} + H_{xy}A + H_{xx} = 0.

(f) Muestre que si H_{yy} es definida positiva, el conjunto de puntos donde h(t) = 0 en la ecuación (2) es discreto.

(d) Muestre que la derivada Dφ_{t} preserva la forma ω = ∑_{i=1}^{n} dx_{i} ∧ dy_{i}, i.e. (Dφ_{t})^{∗}ω = ω. (i.e. si (h_{1}(t), k_{1}(t)) y (h_{2}(t), k_{2}(t)) son soluciones de (2) entonces la cantidad w(t) = ⟨h_{1}(t), k_{2}(t)⟩ − ⟨h_{2}(t), k_{2}(t)⟩ es constante en t. Muestre que ω^{n} = w ∧ …^{n} ∧ ω es ±n! la forma de volumen de ℝ^{2n}. Deduzca que Dφ_{t} preserva la forma de volumen de ℝ^{2n}, i.e.las transformaciones φ_{t} : ℝ^{n} → ℝ^{n} ℝ^{n}, i.e. tienen Jacobiano = 1.

EJERCICIOS DE E.D.O. 3

10. Considere la ecuación lineal X′ = A(t) X donde A ∈ ℝ^{n×n} es una matriz n × n y X(t) ∈ ℝ^{n×n}.

(a) Use la fórmula

(3) \frac{d}{dt}(det X) = tr(\frac{d}{dt}X) · det X

para mostrar que si X(0) es no-singular entonces X(t) es no-singular para todo t.

(b) Sea X(t) la solución de (3) con X(0) = I. Use X(t) para hallar la solución de la ecuación no homogénea Y′ = A(t) Y + B(t), Y (0) = Y_{0}.

11. Considere la ecuación x′′ = sen x. Escríbala como un sistema de orden 1:

x′ = y
y′ = sen x

Encuentre una función H(x, y) tal que t ↦ H(x(t), y(t)) sea constante para toda solución (x(t), y(t)). Grafique todas órbitas {((x(t), y(t)) | t ∈ ℝ }.

12. Sea H(x, y) : ℝ^{2} → ℝ de clase C^{2}. Considere el sistema

\begin{aligned}x′ & = H_{y} \\ y′ & = −H_{x} \end{aligned} (4)

(a) Determine cuando el campo vectorial (4) es un campo gradiente.

(b) Observe que las soluciones constantes de (4) corresponden a los puntos críticos de (4). Muestre que si (x_{0}, y_{0}) es un máximo o un mínimo de H entonces no existe una función V (x, y) en una vecindad de (x_{0}, y_{0}) tal que el valor de V decrece en las soluciondes de (4). Pero si (x_{0}, y_{0}) es un punto silla, tal V local sí existe.

13. Considere la ecuación lineal de 2da orden x′′ + a(t) x′ + b(t) x = 0, (5)

(a) Muestre que (5) puede escribirse de la forma (p(t) x′)′ + (q(t) x) = 0. (6)

(b) Considere el producto interno en L^{2}:

⟨x(t), y(t)⟩ = ∫_{0}^{T} x(s) y(s) ds.

Muestre que el operador

L[x] = (p(t) x′)′ + q(t) x

4 EJERCICIOS DE E.D.O.

es autoadjunto en W = {x ∈ C^{2}([0, T], ℝ) | x(0) = x(T) }.

(c) Muestre que también el operador Laplaciano

Δu = u_{xx} + u_{yy}

es autoadjunto para el producto interno

⟨u, v⟩ = ∫_{Ω} u · v dx dy

en W = {u ∈ C^{2}(Ω, ℝ) | u|_{∂Ω} ≡ 0 }, donde Ω ⊂ ℝ^{2} es un domínio de ℝ^{2}. Sugerencia: Demuestre la fórmula de Green:

∫_{Ω} u Δ v = ∮_{∂Ω} u (∇v · n⃗) − ∫_{Ω} ∇u · ∇v

14. Queremos hallar soluciones del problema de autovalores L(u) = λ u u(0) = u(T) = 0. (7)

donde L es el operador de Sturm-Liouville (6). Como el operador es autoadjunto, se trata de probar un teorema espectral.

(a) Muestre que si λ y μ son dos autovalores, entonces las funciones propias son ortogonales respecto al producto interno de L^{2}.

(b) Muestre que si λ_{0} < λ_{1} < λ_{2} < ⋯ fuesen los valores propios de L entonces

λ_{0} = min\{\frac{⟨L(u),u⟩}{∥u∥_{L^{2}}} | u(0) = u(T) = 0 \}.

(c) Si V = {x ∈ C^{2}([0, T], ℝ) | x(0) = x(T) = 0 }, V (λ_{k}) es el subsepacio propio de λ_{k}, y W_{k} es el complemento ortogonal de V (λ_{0}) ⊕ V (λ_{1}) ⊕ ⋯ ⊕ V (λ_{k−1}), entonces

(i) W_{k} es L-invariante, i.e. L(W_{k}) ⊆ W_{k}. (ii) λ_{k} = min\{ \frac{⟨L(u),u⟩}{∥u∥_{L^{2}}} | u ∈ W_{k} \}.

(d) Ordenemos los autovalores λ_{0} ≤ λ_{1} ≤ λ_{2} ≤ ⋯ repitiéndolos de acuerdo a su multiplicidad. Considere el correspondiente sistema ortonormal de vectores propios u_{0}, u_{1}, u_{2}, . . .. Muestre que si lim_{N↑+∞} λ_{n} = +∞ entonces { u_{0}, u_{1}, u_{2}, … } es una base ortonormal de V, i.e. si f ∈ V y a_{k} = ⟨f, u_{k}⟩, entonces

lim_{N↑+∞} ∥f − ∑_{k=0}^{N} a_{k} u_{k}∥_{L^{2}} = 0.

Sugerencia: g := f − ∑_{0}^{N} a_{k} u_{k} ∈ W_{N+1}, ∥g∥ ≤ ∥f∥ y

∥g∥^{2} ≤ \frac{1}{λ_{N+1}} ⟨L(g), g⟩ = ⟨L(f), g⟩ ≤ \frac{1}{λ_{N+1}} ∥L(f)∥ ∥f∥ .

(e) Concluya que si λ_{k} → +∞, entonces {u_{k}}_{k=0}^{∞} es una base de L^{2}([0, T]) pues V es denso en L^{2}([0, T]). ¿Cuál es esta base cuando L(x) = \frac{d^{2}}{dt^{2}} x ?