EXAMENES GENERALES DE MAESTRIA

ECUACIONES DIFERENCIALES

1. Encuentre la solución general de los siguientes sistemas

a)

x′_{1} = x_{1}
x′_{2} = x_{1} + 2x_{2}
x′_{1} = x_{1} − x_{3}

b)

x′_{1} = −2x_{2}
x′_{2} = x_{1} + 2x_{2}

c) Resuelva el problema

y′ = y ln y

con condición inicial y(1) = 0. (Sugerencia: la sustitución z = ln y cambia esta ecuación a una lineal en z.)

2. Sea H : ℝ^{2} → ℝ de clase C^{2}. Pruebe que el flujo del sistema,

x′ = −\frac{∂H}{∂y}
y′ = \frac{∂H}{∂x}

preserva el área.

3. Enuncie el teorema de existencia y unicidad para ecuaciones diferenciales ordinarias y dé un bosquejo de la prueba.

4. Sea V : ℝ^{n} → ℝ una función de clase C^{2} tal que V^{−1}(−∞, c] es compacto para toda c y ∇V es distinto de cero, excepto en un número finito de puntos p_{1}, p_{2}, …, p_{n}.

a) Pruebe que la solución x(t) de x′ = ∇V está definida para todo t ≥ 0.

Date: Enero 1998.

b) Pruebe que lim_{t→∞} x(t) existe y es igual a uno de los puntos p_{1}, p_{2}, …, p_{n}, para toda solución x(t).

5. Sea x_{0} un punto en ℝ^{n} que es de equilibrio para la ecuación

x′ = f(x)

siendo f de clase C^{3}. Suponga que la diferencial de f en el punto de equilibrio satisface la propiedad de que todos sus valores propios tienen parte real negativa. Pruebe que existe una vecindad U de x_{0} tal que lim_{t→∞} x(t) = x_{0}, para toda solucion tal que x(0) ∈ U.