Teaching
Home
CV
Publications
Teaching
Links

Anásis Armónico en Grupos de Lie compactos (Maestrí, 2do semestre del 2017)
Tareas:
  • Tarea 1 asignada el 30 de Agosto para entregar el 6 de Septiembre. Resolver el siguiente problema.
    1. Sea $M$ una variedad diferenciable y $\varphi : M \rightarrow M$ un difeomorfismo. Todo campo vectorial suave $X$ sobre $M$ lo consideramos como un operador lineal sobre $C^\infty(M)$ dado por \[ X(f)(p) = X_p(f) \] para toda $f \in C^\infty(M)$ y $p \in M$. De manera que podemos definir el campo vectorial suave $[X,Y] = X\circ Y - Y\circ X$. Por otro lado, definimos el campo vectorial suave $d\varphi(X)$ por \[ d\varphi(X)_p = d\varphi_{\varphi^{-1}(p)}(X_{\varphi^{-1}(p)}) \] para todo $p \in M$. Probar que para cualesquiera dos campos vectoriales suaves $X,Y$ sobre $M$ tenemos \[ d\varphi([X,Y]) = [d\varphi(X), d\varphi(Y)]. \] Es decir, $d\varphi$ define un homomorfismo de álgebras de Lie sobre $\mathfrak{X}(M)$.
  • Tarea 2 asignada el 6 de Septiembre para entregar el 13 de Septiembre. Resolver los siguientes problemas
    1. Para un espacio vectorial $V$ de dimensión $n$ calcular las dimensiones de los espacios vectoriales $V^{\otimes k}$ y $\wedge^k V$ para cualquier entero $k \geq 1$.
    2. Sea $V$ un espacio vectorial de dimensión finita $n$ y $\omega \in \wedge^n V^*$. Considerando a $\omega$ como una transformación $n$-multilineal antisimétrica probar que para cualquier transformación lineal $T : V \rightarrow V$ se cumple $\omega(T(\cdot), \dots, T(\cdot)) = \det(T)\omega$.
  • Tarea 3 asignada el 20 de Septiembre para entregar el 27 de Septiembre. Resolver los siguientes problemas.
    1. En el grupo de Lie $GL(n,\mathbb{R})$ denote por $dX$ la medida de Lebesgue que proviene del espacio de matrices $M_n(\mathbb{R})$. Probar que la medida \[ d\mu(X) = \frac{1}{|\det(X)|^n} dX \] es invariante tanto por la izquierda como por la derecha. (Sugerencia: Calcule el determinante del Jacobiano de la transformación $M_n(\mathbb{R}) \rightarrow M_n(\mathbb{R})$ dada por $L_A(X) = AX$.)
    2. Considere el grupo de Lie dado por \[ G = \left\{ \begin{pmatrix} y & x \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \Big| x \in \mathbb{R}, y > 0 \right\}. \] Utilizando las coordenadas $(x,y)$ dadas en la definición de $G$ considere las medidas definidas por \[ d\mu_L(x,y) = \frac{1}{y^2} dx dy, \quad d\mu_R(x,y) = \frac{1}{y} dx dy. \] Probar que $\mu_L$ y $\mu_R$ son invariantes por la izquierda y por la derecha, respectivamente.
    3. Un grupo topológico es un grupo $G$ para el cual las operaciones de producto y de inversión son continuas. Probar las siguientes propiedades para un grupo topológico $G$.
      • Para toda vecindad $W$ de la identidad en $G$ existe una vecindad $U$ de la identidad tal que $U^{-1} = U$ y $U^2 \subset W$.
      • La componente conexa $G_0$ que contiene al elemento identidad de $G$ es un subgrupo normal abierto y cerrado de $G$.
      • Si $G$ es conexo, entonces $G$ es generado por cualquier vecindad de la identidad. En otras palabras, si $U$ es una vecindad de la identidad, entonces para cualquier $x \in G$ existen $x_1, \dots, x_k$ tales que $x = x_1 \dots x_k$.
  • Tarea 4 asignada el 4 de Octubre para entregar el 11 de Octubre.
  • Tarea 5 asignada el 11 de Octubre para entregar el 18 de Octubre.
  • Tarea 6 asignada el 18 de Octubre para entregar el 1 de Noviembre.





Algebra 1 (Maestría, 1er semestre del 2017)
Tareas:
  • Tarea 1 asignada el 25 de Enero para entregar el 1o de Febrero.
  • Tarea 2 asignada el 1o de Febrero para entregar el 8 de Febrero.
  • Tarea 3 asignada el 13 de Febrero para entregar el 20 de Febrero.
  • Tarea 4 asignada el 20 de febrero para entregar el 27 de febrero. Resolver los siguientes problemas del libro de Hungerford. De las páginas 133 a 135, los problemas 5, 7, 10, 18, 23. De las páginas 140 a 142, los problemas 1, 2, 3, 10, 11.
  • Tarea 5 asignada el 8 de marzo para entregar el 15 de marzo (al email del ayudante). Resolver los siguientes problemas del libro de Hungerford de la página 148: 1, 6, 7, 8, 10, 12. También resolver los siguientes problemas.
    1. Denote con $C([0,1])$ el anillo de funciones continuas a valores reales definidas sobre el intervalo $[0,1]$. Probar que para todo $x \in [0,1]$ el conjunto $M_x = \{ f \in C([0,1]) \mid f(x) = 0 \}$ es un ideal maximal.
    2. Considere en $\mathbb{C}^n$ la topología de Zariski definida por el anillo $R = \mathbb{C}[x_1, \dots, x_n]$. Probar que $\mathbb{C}^n$ no es Hausdorff. Dado $f \in R$ denotamos por $O_f \subset \mathbb{C}^n$ el complemento de la variedad algebraica correspondiente al ideal principal generado por $f$, y lo llamamos el abierto principal asociado a $f$. Probar que todo abierto en $\mathbb{C}^n$ es la unión de un número finito de abiertos principales. [Sugerencia: puede usar que en el anillo $R$ todo ideal es finitamente generado]
  • Tarea 6 asignada el 15 de marzo para entregar el 22 de marzo. Resolver los siguientes problemas del libro de Hungerford. De las páginas 178 a 180, los problemas 1, 2, 3, 4, 5, 7, 9, 10.
  • Tarea 7 asignada el 22 de marzo para entregar el 29 de marzo. Resolver los siguientes problemas del libro de Hungerford. De la página 180, los problemas 12, 14, 15, 16, 17, 18.
  • Tarea 8 asignada el 29 de marzo para entregar el 5 de abril. Resolver los siguientes problemas del libro de Hungerford. De las páginas 188 a 190, los problemas 2, 4, 5, 6, 11. De las páginas 198 a 199, los problemas 3, 5, 13.
  • Tarea 9 asignada el 5 de abril para entregar el 26 de abril. Resolver los siguientes problemas del libro de Hungerford. De las páginas 198 a 199, los problemas 2, 7, 8, 9.
  • Tarea 10 asignada el 26 de abril para entregar el 3 de mayo. Las referencias son al libro de Hungerford. Escribir las demostraciones de los Teoremas 4.11 y 4.12. Resolver los problemas 1, 2, 3, 4, 5, 7, 8, 9 de la página 206.
  • No hay tarea asignada el 3 de mayo. La siguiente tarea la asignaremos el 10 de mayo.
  • Tarea 11 asignada el 10 de mayo para entregar el 22 de mayo. Las referencias son al libro de Hungerford. Resolver los problemas 2, 5, 7, 8, 9, 11 de las páginas 216 y 217. También resolver los siguientes problemas.
    1. Probar que la función definida por \begin{align*} \rho : \mathbb{C}^* \times \mathbb{C} &\rightarrow GL(2,\mathbb{C}) \\ \rho(a,b) &= \begin{pmatrix} a & b \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \end{align*} es una representación, donde $\mathbb{C}^* \times \mathbb{C}$ tiene la estructura de producto semidirecto dada por $(a,b) \cdot (a',b') = (aa',ab'+b)$.
    2. Dado un entero positivo $n$, describa todas las representaciones $\mathbb{Z}_n \rightarrow GL(1,\mathbb{C}) = \mathbb{C}^*$.
  • Tarea 12 asignada el 17 de mayo para entregar el 24 de mayo. Resolver los siguientes problemas.
    1. Sean $\chi_1$ y $\chi_2$ los caracteres de dos representaciones irreducibles $\rho_1$ y $\rho_2$, respectivamente, de un grupo finito $G$. Con el producto interno para funciones $G \rightarrow \mathbb{C}$ definido en clase, probar que si $\rho_1$ y $\rho_2$ no son isomorfas entonces \[ \left<\chi_1, \chi_2\right> = 0. \] Además, se cumple \[ \left<\chi_1,\chi_1\right> = \left<\chi_2,\chi_2\right> = 1. \]
    2. Probar que dos representaciones irreducibles de un grupo finito son isomorfas si y sólo sus caracteres son iguales.
    3. Considere el grupo de permutaciones $S_n$ de los $n$ primeros enteros positivos. Para cada permutación $\sigma \in S_n$, considere la transformación lineal en $\mathbb{C}^n$ que satisface \[ \rho(\sigma)(e_j) = e_{\sigma(j)} \] para todo $j = 1, \dots, n$, donde $e_1, \dots, e_n$ es la base canónica de $\mathbb{C}^n$. Probar que esto define una representación $\rho : S_n \rightarrow GL(n, \mathbb{C})$. Probar también que esta representación no es irreducible exhibiendo un subespacio invariante no trivial.
    4. Sea $\rho : G \rightarrow GL(V)$ una representación de un grupo finito $G$ en un espacio vectorial complejo $V$ de dimensión finita. Probar que para cada $g \in G$, la transformación lineal $\rho(g)$ es diagonalizable. (Sugerencia: Usar un producto Hermitiano invariante bajo $G$)
    5. Sea $G$ un grupo finito Abeliano. Probar que toda representación irreducible de $G$ tiene dimensión $1$. (Sugerencia: Diagonalizar simultáneamente a las transformaciones que determinan una tal representación)

Calificación:
  • Tres examenes parciales, cada uno cuenta un 20%.
  • Un examen final, cuenta un 20%.
  • Tareas semanales, cuya calificación promediada cuenta un 20%.

Examenes:
  • Primer examen: 1o de Marzo. Temas: Grupos y Anillos.
  • Segundo examen: 3 de Abril. Temas: Anillos de fracciones, localización, y todos los temas de módulos vistos hasta el 29 de Marzo.
  • Tercer examen: 24 de Mayo en el salón D622 de 12:30 a 15:00. Temas: El functor Hom, productos tensoriales y representaciones de grupos finitos.
  • Examen final: 2 de Junio de 11:00 a 14:00. Salón G004.





Espacios de Bergman y Operadores de Toeplitz (2do semestre del 2016)
Tareas:
  • Describir los subespacios cerrados invariantes de $L^2(\mathbb{R}^n)$ bajo la acción por traslaciones de $\mathbb{R}^n$. Entregar la solución a más tardar en la clase del lunes 31 de Octubre. Sugerencia: Revisar el capítulo sobre la transformada de Fourier del libro de Rudin, Real and Complex Analysis.





Grupos de Lie y Algebras de Lie (Maestría, 1er semestre 2016)
Tareas:
  • Tarea 1 asignada el 4 de Marzo para entregar el 15 de Marzo.

Temas para exposición. Las referencias son al libro de Knapp, Lie groups beyond an introduction. La primera exposición comienza el 3 de mayo y cada uno cuenta con dos clases.
  1. Gustavo: Productos semidirectos de álgebras de Lie y de grupos de Lie. Secciones 4 y 15 del Capítulo I.
  2. Luis: Teorema de Lie. Sección 5 del Capítulo I.
  3. Sahid: Teorema de Engel. Sección 6 del Capítulo I.
  4. Harry: Clasificación de álgebras de Leibniz.
  5. Oscar: Criterios de Cartan. Sección 7 del Capítulo I.





Variedades Diferenciables y Grupos de Lie (2do semestre 2015)
Tareas:
  • Tarea 1 asignada el 13 de Agosto para entregar el 20 de Agosto.
  • Tarea 2 asignada el 20 de Agosto para entregar el 27 de Agosto.
  • Tarea 3 asignada el 27 de Agosto para entregar el 3 de Septiembre.
  • Tarea 4 asignada el 3 de Septiembre para entregar el 10 de Septiembre.
  • Tarea 5: Resolver el problema 6 en la pagina 50 del libro Foundations of differentiable manifolds and Lie groups de Warner. Asignada el 17 de Septiembre para entregar el 24 de Septiembre.
  • Tarea 6 asignada el 24 de Septiembre para entregar el 1o de Octubre.
  • Tarea 7 asignada el 13 de Octubre para entregar el 20 de Octubre.
  • Tarea 8 asignada el 10 de Noviembre para entregar el 17 de Noviembre.
  • Tarea 9 asignada el 19 de Noviembre para entregar el 26 de Noviembre.
  • Tarea 10 asignada el 1o de Diciembre para entregar el 9 de Diciembre.

Notas:
  • Una demostración de la suavidad del mapeo que asigna a cada $k$-plano su complemento ortogonal.

Anuncios:
  • El primer examen parcial.
  • El segundo examen parcial se llevará cabo el jueves 29 de octubre de 3pm a 6pm en el salón 1 de seminarios en el Cimat. Incluye todo lo visto en clase a partir del concepto de valor regular hasta el Teorema de Frobenius.
  • El tercer examen parcial fue publicado el 3 de Diciembre. La fecha límite para la entrega de soluciones es el 9 de Diciembre. Las soluciones pueden ser entregadas en mi pichonera, conmigo cuando me encuentre en mi oficina o en forma electrónica legible a mi cuenta de email.