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Los triangulos son figuras muy útiles. Si s = < vo,v1,v2 > es un 2-simplejo (v0,v1 y v2 son sus vértices), entonces {v1-v0,v2-v0} es linealmente independiente. Por tanto si z Î Â2, existen l1,l2 Î Â tales que z-v0=l1(v1-v0)+l2(v2-v0), o bien, z=(1-l1-l2)v0+l1v1+l2v2, es decir, Â2={m0v0+m1v1+m2v2:m0+m1+m2=1} y claramente esta representación es única. Nótese que s = {m0v0+m1v1+m2v2:m0+m1+m2=1 y mi ³ 0}
LEMA: Sean s = < v0,v1,v2
> y t = < w0,w1,w2
> 2-simplejos, entonces existe un homeomorfismo f:Â2®Â2
tal que f(s) = t
DEMOSTRACION: Si z Î
Â2, entonces z = l0v0+l1v1+l2v2
con l0+l1+l2
= 1, y esta representación es única; definimos f(z) = f(l0v0+l1v1+l2v2)
= :l0w0+l1w1+l2w2.
Es claro que f es continua, ya que sus funciones componentes son lineales
y por consecuencia continuas. Además f es biyectiva. Como f-1
está definida de una forma similar a f, entonces ésta también
es continua. Por lo tanto f es homeomorfismo.
Esta función manda los vértices v0,
v1 y v2 a los vértices w0,
w1 y w2 ; aún mas, manda el triángulo
<v0, v1, v2> al triángulo
<w0, w1, w2> aunque esté
definida sobre todo Â2 .
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