DEFINICION: Sea K un nudo y P la función proyección (regular). Definimos el Diagrama de K como la función DP:K®Â2 de la siguiente manera:DP(q)=P(q) (si P(q) no es punto doble) ó si P(q) es punto doble, entonces existe q¢ Î Â3, tal que P-1[P(q)]={q,q¢}. Si q > q¢, (con el orden lexicográfico), entonces DP(q)=a y DP(q¢)=b, o viceversa. Donde ``a'' y ``b'' son mostrados en la figura siguiente:
Es decir, la funcion diagrama nos da la informacion de
cual arco debemos digujar "arriba" y cual "abajo" en
cada cruce.
A continuación se muestran ejemplos de diagramas de nudos.
Teniendo el diagrama de un nudo K, podemos ``reconstruir''
dicho nudo levantando los cruces por arriba, tal como se muestra a continuación:
TEOREMA: Sean K y K¢ nudos
poligonales.
i) Si DP(K)=DP(K¢),
entonces K ~ K¢.
ii) Si deformamos DP(K) con una isotopía de Â2,
el nudo K¢ que obtenemos al reconstruir
DP(K) después de la deformación isotópica,
es equivalente a K.
DEMOSTRACION:
i) Como DP(K)=DP(K¢)
al reconstruir los nudos K y K¢, estos
van a diferir sólo por una sucesión finita de
deformaciones elementales, entonces
K @ K¢, y por
tanto K ~ K¢
ii) Al obtener K¢ éste difiere
de K por una sucesión finita de deformaciones elementales, entonces K @
K¢, y por tanto K ~
K¢
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