TEOREMA: Sean K y K¢ nudos
poligonales. Entonces K @ K¢
ssi K ~ K¢.
DEMOSTRACION:
Þ) Supongamos que K @
K¢, entonces podemos ir de K a K¢
por medio de una sucesión finita de deformaciones elementales. Por
medio de la deformación elemental
II, podemos hacer que ambos nudos tengan el mismo número de vértices.
Ahora realizamos el mismo truco que el usado en el teorema de Schonflies
(solo que ahora con tetraedros en vez de triángulos), y así
podemos dar un homeomorfismo, que conserve la orientación, al realizar
una deformación elemental de tipo
I. Con esto, vamos a tener una composición finita de homeomorfismos
que conservan la orientación, lo cual finalmente nos da un homeomorfismo
que conserva la orientación, y así los dos nudos son equivalentes.
Ü) Como K
~ K¢ entonces existe una isotopía
del ambiente F, tal que F1(K)=K¢,
tal como se muestra en la figura siguiente, el ``cilindro'' dado por KxI,
es compacto y por tanto se pueden encontrar un número finito de
simplejos sobre la superficie del cilindro, que seran caras de los 4-simplejos
de la subdivision de KxI, de tal manera, que F por ser PL va a mandarlos
tambien a ``triángulos'' sobre Â3,
de esta forma podemos realizar una sucesión finita de deformaciones
elementales y vamos a llegar de K a K¢.