Estamos interesados en dar una receta o algo así para poder decidir si dos nudos son equivalentes o no.
Usualmente la estrategia que se sigue al estudiar este tipo de problemas es asociarle al nudo un invariante (geométrico o algebraico , o de algun otro tipo).

DEFINICION: Sean K y K¢ dos nudos y f una función cuyo dominio es Â3 y el codominio es un conjunto de objetos arbitrarios (pueden ser polinomios, diagramas, etc.). Diremos que f es un invariante si se sumple la siguiente propiedad: Si K y K¢ son equivalentes entonces f(K) es equivalente a f(K¢).

Si disponemos de una herramienta de éstas, podemos hacer cálculos del estilo siguiente: Si f(K) y f(K¢) no son equivalentes forzosamente se debe cumplir que K y K¢ tampoco son equivalentes. Existen ciertos tipos de invariantes llamados completos.

DEFINICION: Sea f un invariante, diremos que f es un invariante completo si se cumple la siguiente condición: Si f(K) es equivalente a f(K¢), entonces K es equivalente a K¢.

Veamos algunos ejemplos de invariantes para nudos: Si K:S1®Â3 es un nudo, entonces E(K):=Â3-K(S1) que es el exterior de K, es un invariante de K, pues si el homeomorfismo g:Â3®Â3 envía al nudo K0 al nudo k1, g(k0)=k1, claramente g:Â3-K0(S1)®Â3-K1(S1) es un homeomorfismo.

Otro invariante muy interesante para un nudo K, es el grupo fundamental de E(K), p1(E(K)), y que llamaremos el grupo del nudo K. En los años sesenta Waldhausen probó que el grupo del nudo es un invariante casi completo; para ser completo le falta un invariante más que se llama la estructura periférica del nudo.

Uno de los invariantes mas sencillos es el de la tricoloreabilidad y éste se define sobre el diagrama del nudo.

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On 11 Aug 2002, 11:40.