Estamos interesados en dar una receta o algo así
para poder decidir si dos nudos son equivalentes o no.
Usualmente la estrategia que se sigue al estudiar este tipo de problemas
es asociarle al nudo un invariante (geométrico o algebraico , o
de algun otro tipo).
DEFINICION: Sean K y K¢
dos nudos y f una función cuyo dominio es Â3
y el codominio es un conjunto de objetos arbitrarios (pueden ser polinomios,
diagramas, etc.). Diremos que f es un invariante si se sumple la siguiente
propiedad: Si K y K¢ son equivalentes entonces
f(K) es equivalente a f(K¢).
Si disponemos de una herramienta de éstas, podemos
hacer cálculos del estilo siguiente: Si f(K) y f(K¢)
no son equivalentes forzosamente se debe cumplir que K y K¢
tampoco son equivalentes. Existen ciertos tipos de invariantes llamados
completos.
DEFINICION: Sea f un invariante, diremos que f es un invariante
completo si se cumple la siguiente condición: Si f(K) es equivalente
a f(K¢), entonces K es equivalente a K¢.
Veamos algunos ejemplos de invariantes para nudos: Si
K:S1®Â3 es un
nudo, entonces E(K):=Â3-K(S1)
que es el exterior de K, es un invariante de K, pues si el homeomorfismo
g:Â3®Â3
envía al nudo K0 al nudo k1, g(k0)=k1,
claramente g:Â3-K0(S1)®Â3-K1(S1)
es un homeomorfismo.
Otro invariante muy interesante para un nudo K, es el grupo fundamental de E(K), p1(E(K)), y que llamaremos el grupo del nudo K. En los años sesenta Waldhausen probó que el grupo del nudo es un invariante casi completo; para ser completo le falta un invariante más que se llama la estructura periférica del nudo.
Uno de los invariantes mas sencillos es el de la tricoloreabilidad y éste se define sobre el diagrama del nudo.