Podemos escribir una trenza dada en terminos de las trenzas elementales. Esta sucesion de bi's es como una plabra con la cual podemos recuperar la trenza.

A cada trenza le hemos asociado un objeto algebraico.

Sabiendo como escribir en forma de palabra las trenzas, quisieramos traducir tambien la noción de equivalencia de trenzas al lenguaje algebráico. Resulta pues que hay ciertas relaciones que describen la equivalencia de trenzas.

1) bibi-1=e (se acostumbra denotar con e al elemento neutro del grupo, en nuestro caso la trenza trivial)

2) bibj=bjbi cuando |i-j| ³ 2

3) bibi+1bi=bi+1bibi+1

Estas relaciones, gracias a Artin, describen la isotopia de trenzas. El teorema de Artin afirma: dos trenzas son equivalentes si y solo si la palabra que representa a una de ellas se puede transformar en la palabra que representa a la otra por medio una suceción finita de cálculos admisibles.

Ejemplo

Ya sabemos como representar la equivalencia de trenzas en el lenguaje algebraico, y tambien que podemos ver a los nudos como trenzas. Resulta que si tenemos dos trenzas equivalentes, al hacer la operación de costura, obtendremos el mismo nudo.

Notemos que la primera operacion es como si hicieramos la movida II de Reidemeister en la proyeccion del nudo que resulta de cerrar la trenza.

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