TEOREMA (Teorema de Schonflies). Si J es un nudo en Â2, entonces existe un homeomorfismo f : Â2® Â2 que conserva la orientación y f(J) es frontera de un triángulo.
DEMOSTRACION Llamemos I a la parte de adentro de J y consideremos la descomposición de ¯I en triángulos ¯I = s1 È...Èsk.
Usaremos inducción sobre k. Si k = 1 no hay nada que probar. Supongamos que el resultado es cierto para todos los polígonos cuya parte de adentro se puede descomponer en menos de k triángulos. Podemos suponer que s1 es un triángulo libre de ¯I.
Caso I. s1 ÇJ consta de dos aristas de s1 = < v0,v1,v2 > ; digamos que s1 ÇJ = < v0,v1 > È < v0,v2 > ; hagamos pasar una recta l por v0 y por el punto medio v5 de < v1,v2 > . Tomamos un punto v3 el fuera de s1 y del lado de < v1,v2 > de tal manera que el cuadrilátero A = < v1,v4,v2,v3 > intersecte a J exactamente en s1 ÇJ . Nótese que A es unión de seis triángulos. Dentro del cuadrilátero A podemos definir una función que mande a v0 sobre v5 y que deje fijos a los vértices v1, v2, v3, v4. El triángulo < v0,v1,v3 > va al triángulo < v5,v1,v3 > ; el triángulo < v0,v1,v4 > va al triángulo < v5,v1,v4 > .
Nótese que ésta función deja fija a ¶A. Así que podemos extender este homeomorfismo a todo el plano definiéndolo como la identidad fuera de A. El resultado es un homeomorfismo f : Â2 ® Â2 tal que f(J) es un nudo cuya parte de adentro se puede descomponer en k-1 trángulos. El teorema queda probado, por inducción, en este caso.
Caso II. s1 ÇJ = < v1,v2 > es exactamente una arista de s1 = < v0,v1,v2 > . En este caso hacemos la construcción ïnversa" al caso I. Es decir, construimos un cuadrilátero como antes, y la función queda determinada prescribiendo que v1, v2, v3, v4 se queden fijos y que ahora v5 vaya sobre v0.
CONCLUSIÓN. Sólo hay un nudo en Â2.
Pues si tenemos dos nudos J y J'en Â2, tenemos también dos homeomorfismos de Â2, digamos f y f¢, tales que f(J) y f(J)¢ son fronteras de triángulos; y ya sabemos como encimar un triángulo en otro.
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