Vamos a platicar de otro objeto topológico: las trenzas. Esto nos va a servir para estudiar los nudos, como veremos mas adelante, y al igual que con éstos, trataremos de hacer una abstracción de lo que conocemos comúnmente como trenza. Imaginemos 2 soportes rígidos paralelos y clavemos un cierto número de hilos, digamos n. hilos o hebras de ellos. Enredemos de alguna manera los hilos y los clavamos en el soporte inferior. Siempre veremos a los hilos como colgando, es decir, no se vale que un hilo suba y vuelva a bajar, tmpoco se vale que los hilos se peguen entre sí. Arriba se muestranejemplos de trenzas de 2, 3, 4 y 5 hilos.
Podemos dar una definicion formal de trenza.
DEFINICION (trenza) Sean p1,p2,...,pn puntos en el plano xy, a1, a2, ... , an arcos en Â3 tales que ai(0)e{p1, p2, ... ,pn} y ai(1)e{p1, p2, ... ,pn}×{1}, entonces (a1,a2, ..., an) es una trenza si a1, a2, ... , an son disjuntos y ai es decreciente en la tercera coordenada.
Ahora quisieramos clasificar las trenzas. Para esto tenemos entonces que dar una noción de equivalencia de trenzas. Pensemos que los hilos de nuestra trenza son flexibles,de manera que podamos estirarlos, que no se vale romperlos y volverlos a pegar (al igual que con los nudos), tampoco se permite ``desclavar'' los hilos. De esta manera podemos deformar los hilos de nuestra trenza y obtener una trenza equivalente. Recordemos que lo que nos quede despues de la deformacion debe seguir siendo una trenza, por lo que solo podemos estirar los hilos hacia los lados.
Se puede dar una definición formal de equivalencia de trenzas. Para esto diremos que dos trenzas son equivalentes si existe una isotopía del ambiente F que me lleve de una a otra, como con los nudos, y que en cada nivel te[0,1] la imagen de Ft sea nuevamente una trenza.
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