Noticimat: 06

Título: Álgebras de Lie de contacto
Ponente: Dr. Gil Salgado González (Facultad de Ciencias de la U.A.S.L.P.)
Lugar: aula C3 de la FMAT
Hora: 10:00 am
Resumen: El concepto de doble extensión surge del problema de entender la estructura de un álgebra de Lie que admite una métrica invariante, i.e., de entender la estructura de un álgebra de Lie cuadrática, V. Kac demostró que toda álgebra de Lie soluble cuadrática satisface que: a) se descompone como la suma directa ortogonal de un ideal cuadrático de dimensión 1 mas una álgebra de Lie cuadrática de codimensión 1 o bien, b) es una doble extensión de una álgebra de Lie cuadrática de codimensión 2. Casi simultáneamente Medina y Revoy prueban que toda álgebra de Lie cuadrática que no se descompone, con dimensión mayor que 1 y que no es simple, es una doble extensión de una álgebra de Lie cuadrática de dimensión menor. Medina extiende este concepto para probar que hay un teorema equivalente si ahora se considera la clase de algebras de Lie simplécticas, i.e., algebras de Lie que admiten una 2-forma cerrada. Ante este escenario, nos preguntamos: ¿Es posible que toda álgebra de Lie de contacto sea una doble extensión de una álgebra de Lie de contacto de codimensión 2?. Desafortunadamente en dimensión 5 encontramos ejemplos de algebras de Lie de contacto que no pueden construirse como dobles extensiones de algebras de Lie de contacto de dimensión 3, este mismo ejemplo, muestra que tampoco es posible obtener dicha álgebra como una extensión central de un álgebra de Lie simpléctica (i.e., mediante un proceso de "contactización"). Sin embargo, pudimos dar condiciones necesarias sobre la acción de la derivación en el vector de Reeb del álgebra original para lograr que la doble extensión sea de nuevo de contacto. Por último, al restringirnos a la clase de las algebras de Lie nilpotentes de contacto, pudimos dar una respuesta positiva a la pregunta estableciendo que: toda álgebra de Lie nilpotente de contacto de dimensión mayor o igual a 5 es una doble extensión del álgebra de Lie de contacto de codimensión 2, además de encontrar una relación sencilla entre las respectivas formas de contacto. Por último, recuperamos un conocido teorema de M. Goze y R. Remm en el que se establece que un álgebra de Lie nilpotente es de contacto si y solo si es una extensión central de una álgebra de Lie simpléctica.