CRITERIOS DE COMPACIDAD EN ALGUNOS ESPACIOS DE BANACH

Fernando Galaz-Fontes Centro de Investigación en Matemáticas A. P. 402, Guanajuato, Gto., 36 000 México.

Resumen En este trabajo nos interesa motivar los criterios conocidos para la compacidad de subconjuntos en los espacios de Banach clásicos: espacio de funciones continuas C[a, b], espacio de funciones acotadas, espacio ℓ_{p} y espacios L_{p}, 1 ≤ p < ∞. Asímismo, destacamos algunas propiedades importantes de los conjuntos compactos y terminamos presentando unos datos históricos relativos al desarrollo del tema.

Introducción

La compacidad es uno de los conceptos centrales en el Análisis Matemático y en sus aplicaciones. Al igual que a E. Hewitt [5], nos parece que esta importancia deriva principalmente de que los conjuntos compactos se comportan “como” los conjuntos finitos, donde es natural esperar que las situaciones sean simples. Esta idea se aprecia en la definición misma (Definición 1) y también en el concepto de totalmente acotado, que discutiremos en la Sección 3.

Aún cuando la noción de compacidad tiene sentido en espacios más generales y muchos de los resultados siguen siendo válidos ahí, el propósito de este trabajo es platicar sobre ella en espacios de Banach, comentar brevemente su importancia y utilidad, y motivar algunos criterios en espacios de Banach particulares.

\overline{1991 Mathematics Subject Classif}ication 46-01, 46A50, 46B99 Este trabajo fue apoyado parcialmente por el CONACyT

1 Compacidad en IR

Dados a, b ∈ IR, a < b, cada función continua f : [a, b] → IR alcanza tanto su valor máximo como su valor mínimo. Esta es una propiedad muy importante, que no se cumple para cualquier función. Por ejemplo, la función continua

f(x) = \frac{1}{x}, x > 0,

no es ni siquiera acotada. Resulta natural entonces analizar cuáles son las propiedades del conjunto [a, b] que hacen posible lo descrito. Esto conduce al concepto de compacidad.

Definición 1

a) Diremos que una colección de conjuntos C = {V_{α} : α ∈ J} es una cubierta de un conjunto A, si A ⊂ ⋃_{α∈J} V_{α}.

b) Diremos que V ⊂ IR es abierto, si para cada p ∈ V existe r > 0 de manera que la vecindad de p con radio r,

V_{r}(p) = {x ∈ IR : |x − p|< r},

está contenida en V.

c) Un conjunto K ⊂ IR es compacto, si de cualquier cubierta suya formada por conjuntos abiertos, es posible extraer una subcubierta finita.

Enseguida probamos que el concepto introducido resuelve lo planteado.

Teorema 1 Sea K ⊂ IR no vacío y f : K → IR. Si f es continua y K es compacto, entonces f alcanza sus valores máximo y mínimo.

Demostración Primero probaremos que cualquier función f que sea continua en K, debe ser acotada. Para ello, tomemos ϵ = 1 en la definición ϵ − δ de continuidad. Luego, para cada p ∈ K existe δ_{p} > 0, de manera que

x ∈ K, |x − p|< δ_{p}, ⇒ |f(x) − f(p)|≤ 1.  (1)

Indiquemos por V_{p} la vecindad de p con radio δ_{p}. Notemos que la colección de todas estas vecindades forma una cubierta abierta de K. Luego, siendo K compacto, existe una subcubierta finita, digamos K ⊂ V_{1} ⋃ ⋯ ⋃ V_{n}, y por consiguiente

K ⊂ (V_{1} ⋂ K) ⋃ ⋯ ⋃ (V_{n} ⋂ K),  (2)

donde cada V_{j}, j = 1, …, n, es algún V_{p}, p ∈ IR. Por (1), f es acotada en cada V_{j} ⋂ K. De acuerdo con (2), esto implica que f es acotada en K.

En virtud de lo que acabamos de probar, observemos que existe el supremo s del conjunto {f(x) : x ∈ K}. Procediendo por contradicción, supongamos que f(x) ≠ s, x ∈ K; lo cual nos permite considerar la función

g(x) = \frac{1}{s − f(x)}, x ∈ K.

Ya que su denominador no se anula, g es continua en K. Sin embargo, tomando una sucesión {x_{n}} ⊂ K tal que x_{n} → s, nos damos cuenta que g no es acotada. Esto contradice lo establecido en la primera parte. □

2 Compacidad en IR^{n}

Una vez descrita la situación en IR, el siguiente objetivo es pasar a IR^{n}, n = 1, 2, …. La extensión de los conceptos introducidos y de las técnicas empleadas no presenta ningún problema, pues sólamente hay que cambiar el valor absoluto |·| en IR por la norma euclidiana ∥·∥_{2} en IR^{n}.

El siguiente resultado [2, Thm. 3.40] señala otras formas, muy útiles, en que se puede considerar la compacidad.

Teorema 1 Para K ⊂ IR^{n}, las siguientes propiedades son equivalentes:

i) K es compacto. ii) Cada sucesión en K, posee una subsucesión que converge a algún punto en K. iii) K es cerrado y acotado.

A continuación describimos un método muy importante basado en la propiedad de compacidad.

Ejemplo 1 Supongamos que se tiene una función continua f : IR^{n} → IR, y se desea mostrar que existe alguna solución de la ecuación

f(x) = 0.  (3)

Un primer paso es resolverla aproximadamente, esto es, resolver ecuaciones de la forma

f(x) = e_{n}, e_{n} → 0.  (4)

Sea x_{n} una solución de (2), de manera que f(x_{n}) = e_{n}. El segundo paso consiste en establecer que la sucesión x_{n} está contenida en algún compacto K ⊂ IR^{n}. Una vez logrado esto, de acuerdo con ii) del Teorema 1, tomemos una subsucesión que converja en K, digamos x_{n(k)} → p. Luego, por la continuidad de f, resulta

f(p) = lim_{n→∞} f(x_{n(k)}) = lim_{n→∞} e_{n(k)} = 0.

Por consiguiente, p es una solución de (1).

3 Compacidad en un Espacio de Banach

Diversas cuestiones, principalmente relacionadas con el problema de mostrar la existencia y unicidad de soluciones para ciertas ecuaciones, hacen necesario considerar no solamente nuestros familiares espacios IR^{n}, sino pasar a conjuntos más generales. Resulta de gran importancia que gran parte del Análisis en IR^{n} que conocemos dependa sólamente de tres propiedades de este espacio:

(1) Su estructura de espacio vectorial.

(2) La existencia de una norma, es decir de una función ∥·∥, que satisfaga: (a) ∥x∥ ≥ 0, ∥x∥ = 0 si, y sólo si, x = 0.

(b) La desigualdad del triángulo: ∥x + z∥ ≤ ∥x∥ + ∥z∥.

(c) ∥kx∥ =|k| ∥x∥.

(3) Su completez. Para definir este concepto, recordemos primero que una sucesión {x_{n}} es de Cauchy si, para cada ϵ > 0, existe un índice N tal que ∥x_{n} − x_{m}∥ ≤ ϵ, N ≤ n, m. Luego, la completez significa simplemente que cada sucesión de Cauchy es convergente.

En general, a un conjunto X que posea las tres propiedades anteriores se le llama espacio de Banach. En lo que sigue nuestro interés es analizar el concepto de compacidad en un espacio de Banach. Nuevamente, la definición original de compacidad tiene sentido. También el Teorema 1.1, junto con su demostración, es válido en este contexto más general. Lo único que debe hacerse es cambiar la norma euclidiana ∥·∥_{2} por la norma abstracta ∥·∥. Respecto al Teorema 2.1, se presenta un nuevo fenómeno: aunque i) y ii) siguen siendo equivalentes, resulta que ya no lo son con iii).

Ejemplo 1 Para 1 ≤ p < ∞, consideremos el conjunto

ℓ_{p} = {(x_{1}, x_{2}, …, x_{n}, …) : ∥{x_{n}}∥_{p} < ∞},

donde

∥{x_{n}}∥_{p} = (∑_{n=1}^{∞} |x_{n}|^{p})^{1/p}.

Dotado de las operaciones usuales con sucesiones, ℓ_{p} es un espacio vectorial, y ∥·∥_{p} define una norma, bajo la cual es completo [7, §4, §15].

Tomemos ahora en ℓ_{p} el conjunto

B = {e_{n} : n = 1, 2, …},

donde e_{n} = (0, …, 0, 1, 0, …), con ‘1’ en el n-ésimo lugar. Ya que ∥e_{n}∥ = 1, B es un conjunto acotado. Observemos enseguida que, para n ≠ m, se cumple

∥e_{n} − e_{m}∥ = 2.

Esto indica que B no tiene puntos de acumulación y, por consiguiente es cerrado. Además, se sigue también que {e_{n}} no posee ninguna subsucesión convergente. Tenemos así un ejemplo de un conjunto B ⊂ ℓ_{p} que es cerrado y acotado, y que, sin embargo, no es compacto.

La situación anterior señala que, para ser compacto, un subconjunto cerrado K de un espacio de Banach X necesita tener una propiedad más fuerte que la de ser acotado. Esto motiva el siguiente concepto.

Definición 1 Sea X un espacio de Banach. Diremos que un conjunto K ⊂ X es totalmente acotado si, para cada ϵ > 0, existe un número finito de puntos en K, digamos x_{1}, x_{2}, …, x_{n}, tal que si x ∈ K, entonces |x − x_{j}|≤ ϵ, para algún j = 1, 2, …, n. En este caso se dice que el conjunto {x_{1}, …, x_{n}} constituye una ϵ-red de K.

En lugar del Teorema 2.1, se tiene ahora el siguiente [7, §9].

Teorema 1 Sea X un espacio de Banach y K ⊂ X. Entonces, las siguientes propiedades son equivalentes:

i) K es compacto. ii) Cada sucesión en K, posee una subsucesión convergente en K. iii) K es cerrado y totalmente acotado.

4 Criterios Particulares

El Teorema 3.1 proporciona varios criterios mediante los cuales se puede analizar si un conjunto dado es compacto, independientemente de cual sea el espacio de Banach involucrado. Resulta claro, sin embargo, la posibilidad de que para un espacio de Banach específico X estos criterios, a su vez, pudieran describirse mediante condiciones relativas a X. Hacer esto es el objetivo principal de nuestro trabajo. De acuerdo a dicho teorema bastará entonces caracterizar cuándo K ⊂ X es totalmente acotado.

Ejemplo 1 X = IR^{n} En este caso, a partir del Teorema 3.1 es sencillo verificar que K ⊂ IR^{n} es totalmente acotado si, y sólo si, K es acotado.

Conviene notar además que lo anterior, a su vez, es equivalente a que K sea acotado por componentes. Es decir, que

{x_{k} : (x_{1}, …, x_{k}, …, x_{n}) ∈ K} ⊂ IR, k = 1, …, n,  (5)

sea acotado.

Respecto a los siguientes casos quisiéramos hacer notar que, además de una condición como (1), la idea es buscar alguna propiedad que en principio dependa de cada elemento f ∈ K, y requerir que ésta se pueda elegir de manera uniforme para f ∈ K.

Ejemplo 2 X = C(K) Sea X un espacio de Banach y K ⊂ X compacto. Consideremos el conjunto

C(K) = {f : K → IR, fes continua}.

Con las operaciones usuales de suma y de multiplicación por escalares entre funciones, C(K) es un espacio vectorial. Además

∥f∥_{∞} = max{|f(x)|: x ∈ K},

define una norma en C(K) y, bajo esta norma, es completo [6, Ch.3]

Sea f ∈ C(K). Luego, como en el conocido caso en que X = IR y K = [a, b], f es uniformemente continua en K [6, p. 33]. Por consiguiente, para cada ϵ > 0, existe δ_{f} > 0 de manera que

si x, z ∈ K y ∥x − z∥ ≤ δ_{f}, entonces ∥f(x) − f(z)∥ ≤ ϵ.  (6)

Consideremos ahora una familia K ⊂ C(K). Dado ϵ > 0, de acuerdo a lo anterior, para cada f ∈ K existe δ_{f} para el cual se cumple (2). Cuando, para cada ϵ > 0, se pueda elegir un número positivo δ que sirva em uniformemente en K (es decir, para todo f ∈ K), se dice que la familia K es equicontinua.

Sea K ⊂ C(K). Cuando, para cada x ∈ K, el conjunto

{f(x) : f ∈ K} ⊂ IR

sea acotado, diremos que la familia de funciones K es puntualmente acotada.

Podemos ya indicar el criterio de Arzelá-Ascoli para la compacidad en C(K).

Teorema 1 Sea K ⊂ C(K). Entonces K es totalmente acotado si, y sólo si, K es equicontinuo y puntualmente acotado.

Demostración ⇒) Sea ϵ > 0. De acuerdo a la hipótesis, tomemos una \frac{ϵ}{3}-red \{f_{1}, …, f_{N}\} de K. Luego, para cada f_{j}, existe δ_{j} > 0 de manera que

si ∥x − z∥ ≤ δ_{j}, entonces |f_{j}(x) − f_{j}(z)| ≤ \frac{ϵ}{3}.

Definamos δ = min{δ_{1}, …, δ_{N}} > 0. Enseguida, dado f ∈ K, elijamos f_{j} ∈ R de manera que ∥f − f_{j}∥_{∞} ≤ \frac{ϵ}{3}. De esta forma, si ∥x − z∥ ≤ δ, se cumple

|f(x) − f(z)| ≤ |f(x) − f_{j}(x)| + |f_{j}(x) − f_{j}(z)| + |f_{j}(z) − f(z)| ≤ ϵ.

⇐) Sea ϵ > 0. En virtud de la equicontinuidad, elijamos δ > 0 de manera que si ∥x − z∥ ≤ δ, entonces |f(x) − f(z)| ≤ \frac{ϵ}{3}, f ∈ K. Luego, a partir de la compacidad de K, tomemos una δ-red R = {x_{1}, x_{2}, …, x_{N}} de K. Ya que la familia K es puntualmente acotada, el conjunto

{f(x_{1}), f(x_{2}), …, f(x_{N})} : f ∈ K} ⊂ IR^{n}

es totalmente acotado. Luego, existe un conjunto finito G ⊂ K tal que si f ∈ K, entonces

|f(x_{j}) − g(x_{j})| ≤ \frac{ϵ}{3}, j = 1, 2, …, N,  (7)

para algún g ∈ G. Veamos que G es una ϵ-red de K. Dado f ∈ K, después de elegir g para que se cumpla (3), resulta

|f(x) − g(x)|=|f(x) − f(x_{j})| + |f(x_{j}) − g(x_{j})| + |g(x_{j}) − g(x)| ≤ ϵ. □

Ejemplo 3 X = B(A) Dado un conjunto no-vacío arbitrario A, consideremos el conjunto

B(A) = {f : A → IR, fes acotada}.

Con las operaciones usuales de suma y de multiplicación por escalares entre funciones, B(A) es un espacio vectorial. Además

∥f∥_{∞} = sup{|f(x)|: x ∈ A},

define una norma en B(A) y, bajo esta norma, es completo [6, p. 47]

Sea f ∈ B(A). Luego, f(A) ⊂ IR es totalmente acotado. Dado ϵ > 0, sea \{p_{1}, …, p_{n}\} una \frac{ϵ}{2}-red de f(A). Definamos

D_{k} = \{x ∈ A :|f(x) − p_{k}|≤ \frac{ϵ}{2}\}, k = 1, …, n.

Observemos que A = D_{1} ∪ … ∪ D_{n}. Además, si x, y ∈ D_{k}, se cumple

|f(x) − f(y)|≤|f(x) − p_{k}| + |p_{k} − f(y)|≤ ϵ.  (8)

Consideremos ahora una familia K ⊂ B(A). Dado ϵ > 0, de acuerdo a lo anterior, para cada f ∈ K existe una descomposición de A en un número finito de subconjuntos, A = ∪D_{1} ∪…∪D_{n}, de manera que si x, y pertenecen a algún D_{k}, entonces se cumple (4). Cuando, para cada ϵ > 0, se pueda elegir una descomposición que sirva uniformemente en K (es decir, para todo f ∈ K), diremos que la familia K es equivariante.

El siguiente criterio fue establecido en 1964 por K. Vala [10].

Teorema 2 Sea K ⊂ B(A). Entonces K es totalmente acotado si, y sólo si, K es puntualmente acotado y equivariante.

Demostración Supongamos primero que K es totalmente acotado. Consideremos x ∈ A. Sea f_{1}, …, f_{n} ∈ B(A) una ϵ-red para K, con ϵ = 1. Dado f ∈ K, elijamos k = 1, …, n de manera que ∥f − f_{k}∥ ≤ 1. Luego,

|f(x)|≤ 1+ |f_{k}(x)| .

De aquí se sigue que K es puntualmente acotada.

Para establecer que la familia K es equivariante consideremos ϵ > 0. Sea f_{1}, …, f_{n} ∈ B(A) una \frac{ϵ}{3}-red para K. Para cada j = 1, …, n, elijamos una

descomposición finita de A, digamos A = ∪_{m=1}^{M}D_{j,m}, de manera que

x, y ∈ D_{j,m} ⟹ |f_{j}(x) − f_{j}(y)|≤ \frac{ϵ}{3}.

Consideremos ahora la descomposición finita de A determinada por

A = ⋃_{m_{1},...,m_{n}=1,...,N} D_{1,m_{1}} ∩ … ∩ D_{n,m_{n}}.

Sean x, y ∈ D_{1,m_{1}} ∩ … ∩ D_{n,m_{n}}. Dada f ∈ K, elijamos f_{j} de manera que ∥f − f_{j}∥_{∞} ≤ \frac{ϵ}{3}. Entonces, se satisface

|f(x) − f(y)| ≤ |f(x) − f_{j}(x)|≤|f_{j}(x) − f_{j}(y)|≤|f_{j}(y) − f(y)|
≤ \frac{ϵ}{3} + \frac{ϵ}{3} + \frac{ϵ}{3} = ϵ.

Supongamos ahora que la familia K es puntualmente acotada y equivariante. Dado ϵ > 0, consideremos una descomposición finita de A, digamos A = D_{1}, ∪ … ∪ D_{n}, de manera que

|f(x) − f(y)|≤ \frac{ϵ}{2}, x, y ∈ D_{j}, f ∈ K, j = 1, …, n.

Sin perder generalidad, supondremos que los conjuntos D_{j}’s son no-vacíos y ajenos entre sí. Fijemos x_{j} ∈ D_{j}. Ya que K es puntualmente acotado, tomemos enseguida p_{j,1}, …, p_{j,N} como una \frac{ϵ}{2}-red de \{f(x_{j}) : f ∈ K\}.

Eligiendo ahora, para cada j = 1, …, n, un punto p_{j,m_{j}} definamos la función

g_{m_{1},...,m_{n}}(x) = p_{j,m_{j}}, x ∈ D_{j}.

Claramente g_{m_{1},...,m_{n}} es acotada. Para verificar que la coleccio’n de todas estas funciones es una ϵ-red de K, consideremos f ∈ K, x ∈ X. Tomemos j tal que x ∈ D_{j}. Entonces, eligiendo m_{j} de manera que |p_{j,m_{j}} − f(x_{j})|≤ \frac{ϵ}{2}, se satisface

|f(x) − g_{m_{1},...,m_{n}}(x)|≤|f(x) − f(x_{j})| + |f(x_{j}) − p_{j,m_{j}}|≤ \frac{ϵ}{2} + \frac{ϵ}{2} = ϵ.

Ejemplo 4 X = ℓ_{p}, 1 ≤ p < ∞ Consideremos el espacio de Banach ℓ_{p} introducido en el Ejemplo 3.1. Sea s = {x_{n}} ∈ ℓ_{p}. Luego, para cada ϵ > 0, existe N_{s} ∈ IN tal que

( ∑_{n=N_{s}}^{∞} |x_{n}|^{p})^{1/p} ≤ ϵ.  (9)

Tomemos ahora un conjunto K ⊂ ℓ_{p}. Dado ϵ > 0, de acuerdo a lo anterior, para cada s ∈ K existe N_{s} con el cual se cumple (5). Cuando, para cada ϵ > 0, se pueda elegir un N ∈ IN que sirva para todo s ∈ K, diremos que la familia K es equiconvergente.

Por otra parte, diremos que K = {{x_{n,α}} : α ∈ I} ⊂ ℓ_{p} es finitamente acotado si, para cada n ∈ N, el conjunto {x_{n,α} : α ∈ I} ⊂ IR es acotado.

Tenemos ahora el siguiente criterio [7, §10].

Teorema 3 Sea K ⊂ ℓ_{p}, 1 ≤ p < ∞. Entonces K es totalmente acotado si, y sólo si, K es equiconvergente y finitamente acotado.

Demostración Para cada n ∈ N, definamos P_{n} : ℓ_{p} → ℓ_{p} por

P_{n}(x_{1}, x_{2}, …) = (x_{1}, x_{2}, …, x_{n}, 0, …, 0, …).

Así, la parte derecha en (5) se expresa simplemente por ∥I − P_{n}∥, n = N_{s}−1, siendo I(x_{1}, …, x_{n}, …) = (x_{1}, …, x_{n}, …). Notemos que

∥P_{n}x∥ ≤ x, ∥(I − P_{n})x∥ ≤ x, x ∈ ℓ_{p}, n ∈ IN.

⇒) Sea ϵ > 0. Consideremos una \frac{ϵ}{2}-red R = \{s_{1}, …, s_{M}\} de K. Para

cada s_{j}, existe N_{j} de manera que ∥(I − P_{N_{j}})s∥ ≤ \frac{ϵ}{2}. Tomemos N = max{N_{1}, …, N_{M}}. Dado x ∈ K, escojamos s ∈ R, tal que que ∥s − p∥ ≤ \frac{ϵ}{2}. Se cumple entonces

∥(I − P_{N})x∥ ≤ ∥(I − P_{N})(x − s)∥ + ∥(I − P_{N})s∥
≤ ∥x − s∥ + \frac{ϵ}{2} ≤ ϵ.

⇐) Sea ϵ > 0. Ya que K es equiconvergente, elijamos N ∈ IN tal que

∥(I − P_{N})x∥ ≤ \frac{ϵ}{4}.

Por hipótesis, el conjunto {(P_{1}x, P_{2}x, …, P_{n}x) : x ∈ K} ⊂ IR^{n} es acotado. Luego, existe un conjunto finito G ⊂ K tal que si x ∈ K, entonces

|P_{j}x − P_{j}s| ≤ \frac{ϵ}{2N^{\frac{1}{p}}} ,  (10)

para algún s ∈ G. Para mostrar que G es una ϵ-red de K, tomemos x ∈ K. Luego, eligiendo s ∈ G de forma que se cumpla (6), resulta

∥x − s∥_{p} ≤ ∥(I − P_{N})(x − s)∥_{p} + ∥P_{N}(x − s)∥_{p}
≤ ∥(I − P_{N})x∥_{p} + ∥(I − P_{N})s∥_{p} + \frac{ϵ}{2} ≤ ϵ. □

Observación 1 Consideremos el conjunto

ℓ_{∞} = {(x_{1}, x_{2}, …, x_{n}, …) : {x_{n}} es acotada},

donde

∥{x_{n}}∥_{∞} = sup{|x_{n}|: n ∈ IN}.

Dotado de las operaciones usuales con sucesiones, ℓ_{∞} es un espacio vectorial, y ∥·∥_{∞} define una norma, bajo la cual es completo [7, §4, §15]. Entonces, ℓ_{∞} = B(IN), por lo que el Teorema 2 proporciona un criterio para la compacidad en ℓ_{∞}.

Ejemplo 5 X = L_{p}(IR^{n}), 1 ≤ p < ∞ El espacio L_{p}(IR^{n}) consiste de todas las (clases de equivalencia de) funciones medibles f : IR^{n} → IR tales que |f|^{p} es Lebesgue-integrable, y tomamos

∥f∥_{p} = (∫_{IR_{n}} |f|^{p} dx)^{\frac{1}{p}} .

De esta forma, resulta que L_{p}(IR^{n}) es un espacio vectorial en donde ∥·∥_{p} constituye una norma y bajo la cual es completo [1, Ch. 2].

Dada f : IR → IR y h ∈ IR, definamos

f_{h}(x) = f(x + h), x ∈ IR.

Entonces, la condición de equicontinuidad de un conjunto K de funciones continuas f : IR → IR se puede expresar como sigue: para cada ϵ > 0, existe δ > 0 tal que

∥f − f_{h}∥_{∞} ≤ ϵ, f ∈ K, |h| ≤ δ.

Esta situación motiva el buscar un criterio similar, cambiando para ello ‘∞’ por ‘p’ en la expresión anterior.

El soporte de una función f : IR^{n} → IR, es decir la cerradura del conjunto {x ∈ IR^{n} : f(x) ≠ 0}, se denotará por sopf.

Lema 1 Sea f ∈ L_{p}(IR^{n}), 1 ≤ p < ∞. Entonces, para cada ϵ > 0, existe un conjunto abierto y acotado Ω ⊂ IR^{n}, y δ > 0 tal que

∫_{IR^{n}\Ω} |f|^{p} ≤ ϵ^{p}.  (11)
∥f − f_{h}∥_{p} ≤ ϵ, |h|≤ δ.  (12)

Demostración Para cada N ∈ IN, hagamos V_{N} = {x ∈ IR^{n} : ∥x∥ ≤ N}. Por el Teorema de Convergencia Monótona, se cumple que

∫_{V_{N}} |f|^{p}→ ∫_{IR_{n}} |f|^{p}, N → ∞.

Como ∫_{IR^{n}\V_{N}} |f|^{p} = ∫_{IR_{n}} |f|^{p} − ∫_{V_{N}} |f|^{p}, (7) resulta claro.

A continuación probaremos (8) en el caso en que f es continua y su soporte A es compacto. Sea B = {x + y : x ∈ A, ∥y∥ ≤ 1}. Observemos que B es compacto. Luego, f es uniformemente continua en B. Por lo tanto, existe δ, 0 < δ < 1, de manera que

|f_{h}(x) − f(x)|< \frac{ϵ}{μ(B)}, x ∈ B, |h|≤ δ,

siendo μ la medida de Lebesgue en IR^{n}. Sea |h|≤ δ. Entonces f_{h} = 0 = f en IR^{n} \ B, por lo que

∫_{IR_{n}} |f_{h} − f|= ∫_{B} |f_{h} − f|≤ ϵ.

Esto prueba (8) cuando f es una función continua con soporte compacto.

Consideremos ahora el caso general. Dada f ∈ L_{p}(IR^{n}), elijamos una función continua g : IR^{n} → IR que tenga soporte compacto y satisfaga ∥f − g∥ ≤ \frac{ϵ}{3} [1, p.28]. De acuerdo a lo que acabamos de establecer, es-

cojamos después δ > 0 para que se cumpla ∥g_{h} − g∥_{p} ≤ \frac{ϵ}{2}, cuando |h|≤ δ. Entonces, por la invariabilidad de la integral de Lebesgue bajo traslaciones, si |h|≤ δ se obtiene

∥f_{h} − f∥_{p} ≤ ∥f_{h} − g_{h}∥ + ∥g_{h} − g∥ + ∥g − f∥ ≤ \frac{ϵ}{3} + \frac{ϵ}{3} + \frac{ϵ}{3} = ϵ.

Esto prueba (8). □

Teorema 4 Sea K un subconjunto acotado de L_{p}(IR^{n}), 1 ≤ p < ∞. Entonces K es totalmente acotado si, y sólo si, las condiciones (7) y (8) se satisfacen uniformemente para f ∈ K; es decir, si para cada ϵ > 0, existe un conjunto abierto y acotado Ω ⊂ IR^{n} y δ > 0, tal que

∫_{IR^{n}\Ω} |f|^{p} ≤ ϵ^{p}, f ∈ K;  (13)
∥f − f_{h}∥_{p} ≤ ϵ, |h|≤ δ, f ∈ K.  (14)

Demostración Veamos primero que las condiciones indicadas son necesarias. Dado ϵ > 0, elijamos f_{1}, …, f_{m} ∈ L_{p}(IR^{n}) de manera que formen una \frac{ϵ}{3}-red de K. Por el lema anterior, para cada j = 1, …, m, podemos encontrar un conjunto abierto y acotado Ω_{j} ⊂ IR^{n} y δ_{j} > 0 para que se satisfagan (7) y (8) con f_{j}, Ω_{j}, \frac{ϵ}{3} y δ_{j} en lugar de f, Ω, ϵ y δ, respectivamente. Tomemos

Ω = Ω_{1} ∪ … ∪ Ω_{m}, h = min{h_{1}, …, h_{m}}.

Sea f ∈ K. Eligiendo j de manera que ∥f − f_{j}∥_{p} ≤ \frac{ϵ}{3}, resulta

(∫_{IR^{n}\Ω} |f|^{p})^{1/p} ≤ (∫_{IR^{n}\Ω_{j}} |f|^{p})^{1/p}
≤ (∫_{IR^{n}\Ω_{j}} |f − f_{j}|^{p})^{1/p} + (∫_{IR^{n}\Ω_{j}} |f|^{p})^{1/p} ≤ ϵ.

Asímismo, cuando |h|≤ δ, se satisface

∥f − f_{h}∥_{p} ≤ ∥f − f_{j}∥_{p} + ∥f_{j} − (f_{j})_{h}∥_{p} + ∥(f_{j})_{h} − f_{h}∥_{p} ≤ ϵ,

pues

∥(f_{j})_{h} − f_{h}∥_{p} = ∥(f_{j} − f)_{h}∥_{p} = ∥f_{j} − f∥_{p}.

A continuación estableceremos la suficiencia de las condiciones (9) y (10). Empecemos fijando una función continua y no-negativa g : IR^{n} → IR cuyo soporte esté contenido en la bola B = {x ∈ IR^{n} : ∥x∥ ≤ 1} y que cumpla ∫IR^{n} g = 1. Enseguida, para cada r > 0 y h ∈ L_{p}(IR^{n}), definamos

J_{r}h(x) = \frac{1}{r^{n}} ∫_{IR_{n}} g(\frac{x − s}{r})h(s)ds.

Se satisface entonces lo siguiente [1, p. 30]:

a) \frac{1}{r^{n}} ∫IR^{n} g(\frac{s}{r})ds = 1.

b) J_{r}h(x) = \frac{1}{r^{n}} ∫IR^{n} g(\frac{s}{r})h(x − s)ds.

c) J_{r}h es continua. En adelante supondremos que 0 < r < 1 está fijo.

A continuación estableceremos la desigualdad

∥J_{r}u − u∥_{p} ≤ C sup{∥u_{h} − u∥_{p} : |h|≤ r}, u ∈ L_{p}(IR^{n}),  (15)

donde C > 0 es una constante.

Consideremos 1 < p < ∞ y q tal que 1/p + 1/q = 1. A partir de b), a) y la desigualdad de Hölder, obtenemos

|J_{r}u(x) − u(x)|^{p} ≤ (\frac{1}{r^{n}} ∫_{IR_{n}} g(\frac{s}{r}) |u(x − s) − u(x)| ds)^{p}
= (\frac{1}{r^{n}} ∫_{IR_{n}} g(\frac{s}{r})^{1/q}g(\frac{s}{r})^{1/p} |u(x − s) − u(x)| ds)^{p}
≤ ∫_{IR_{n}} g(\frac{s}{r}) |u(x − s) − u(x)|^{p} ds  (16)

Integrando ahora respecto de x, se sigue (11) inmediatamente. Cuando p = 1 en (12) simplemente no aparece ‘g(\frac{s}{r})’.

Sea ϵ > 0. Queremos construir una ϵ-red para K. Como primer paso, elijamos un conjunto abierto y acotado Ω donde se cumpla (9) con \frac{(ϵ)^{p}}{3} en lugar de ϵ^{p}.

Como segundo paso, de acuerdo con (10) y (11), fijemos r > 0 para que se cumpla

∥J_{r}f − f∥_{p}^{p} ≤ \frac{ϵ^{p}}{3(2^{p})}, f ∈ K.

Sea Ω̄ la cerradura de Ω. Usando el Criterio de Arzela-Ascoli, mostraremos enseguida que

J_{r}(K) = {J_{r}f : Ω̄ → IR, f ∈ K}

es un conjunto totalmente acotado en C(Ω̄).

Consideremos x ∈ Ω̄. Sea 1 < p < ∞ . Entonces, procediendo como se hizo para obtener (12), resulta

(|J_{r}f(x)|) ≤ \frac{1}{r^{n}} ∫_{IR_{n}} g(\frac{x − s}{r}) |f(s)| ds
≤ (∫_{IR_{n}} g(\frac{x − s}{r}) |f(s)|^{p})^{\frac{1}{p}} ds
≤ ∥g∥_{∞}∥f∥_{p}.  (17)

Cuando p = 1, en (13) aparece ‘\frac{1}{r^{n}} ∥g∥_{∞}’ en lugar de ‘∥g∥_{∞}’. Siendo K un conjunto acotado en L_{p}(IR^{n}), de lo anterior se sigue que J_{r}(K) es puntualmente acotado en Ω̄. Para analizar la equicontinuidad de J_{r}(K), sea f ∈ K, x, y ∈ Ω̄. Observemos que el soporte de las funciones

s → g(\frac{x − s}{r}), s → g(\frac{y − s}{r})

está contenido en A = Ω̄ + rB. Sea 1 < p < ∞. Luego, de acuerdo con b), se cumple

|J_{r}f(x) − J_{r}f(y)| ≤ \frac{1}{r^{n}} ∫_{IR_{n}} |g(\frac{x − s}{r}) − g(\frac{y − s}{r}|) |f(s)| ds
≤ \frac{1}{r^{n}} ∫_{A} |g(\frac{x − s}{r} − g(\frac{y − s}{r}|) |f(s)| ds
≤ \frac{1}{r^{n}} C_{x,y}μ(A)^{\frac{1}{q}} ∥f∥_{p},  (18)

siendo

C_{x,y} =|g(\frac{x − s}{r}) − g(\frac{y − s}{r})|  (19)

Como g es uniformemente continua, de (14) y (15) resulta que la familia J_{r}(K) es equicontinua. Cuando p = 1, en (14) no aparece ‘μ(A)^{\frac{1}{q}} ’. Tomemos

ahora α = \frac{(ϵ)^{p}}{3(2^{p})μ(Ω̄)} y elijamos g_{1}, …, g_{M} ∈ C(Ω̄) para que formen una

α-red en J_{r}(K). Hagamos

g̃_{k}(x) \{ \begin{matrix}g_{k}(x), & x ∈ Ω̄ \\ 0, & x ∈ IR^{n} \ Ω̄ \end{matrix} .

Para terminar mostraremos que la colección de g_{k}’s es una ϵ-red de K.

Dado f ∈ K, escojamos g_{k} de manera que ∥J_{r}f − g_{k}∥_{∞} ≤ α. Luego, teniendo presente que (a + b)^{p} ≤ 2^{p}(a + b), a, b ≥ 0, resulta

∫_{IR_{n}} |f − g̃_{k}|^{p} = ∫_{IR^{n}\Ω} |f|^{p} + ∫_{Ω} |f − g_{k}|^{p}
≤ \frac{(ϵ)^{p}}{3} + 2^{p} ∫_{Ω} |f − J_{r}f|^{p} +2^{p} ∫_{Ω} |J_{r}f − g_{k}|^{p}
≤ \frac{(ϵ)^{p}}{3} + \frac{(ϵ)^{p}}{3} + \frac{(ϵ)^{p}}{3} = ϵ. □

El criterio anterior fue establecido en 1931 por A. N. Kolmogorov cuando el soporte de cada función f ∈ K está contenido en algún conjunto Ω ⊂ IR^{n} que es abierto y acotado [5]. Partiendo de este resultado, el caso general resulta de manera sencilla y fue obtenido poco tiempo después por J. Tamarkin [9].

5 Información Histórica

Para terminar este trabajo, a manera de postre, queremos señalar alguna información histórica [2, 3, 8, 11] relativa a los temas que acabamos de tratar.

En la segunda mitad del siglo pasado, ya era conocido el resultado que puede considerarse como gérmen del concepto de compacidad: el Teorema de Bolzano-Weierstrass. Este afirma que toda sucesión acotada en IR^{n} posee una subsucesión convergente. Asímismo, debemos tener presente el Teorema de Weierstrass, el cual señala que toda función continua definida en un intervalo cerrado f : [a, b] → IR, tiene un valor máximo y un valor mínimo. E. Borel demostró en 1895 que de una cubierta abierta y numerable de un intervalo [a, b] siempre se puede extraer una sucubierta finita. Unos cuantos aõs después, H. Lebesgue estableció esto para una cubierta abierta arbitraria, por lo cual a dicho resultado también se le conoce como el Teorema de Borel-Lebesgue.

Tiempo atrás, durante 1870-72, E. Heine había definido la continuidad uniforme y probado que toda función continua f : [a, b] → IR es uniformemente continua. Su demostración, con algunas modificaciones, puede servir para establecer el Teorema de Borel-Lebesgue, por lo que algunos autores también le dan a este último el nombre de Teorema de Heine-Borel.

Los espacios métricos fueron definidos por M. Fréchet en 1906, quien además introdujo el término ‘compacto’ para referirse a aquellos espacios métricos en donde toda sucesión posee una subsucesión convergente. Poco años después, en 1914, F. Hausdorff notó que esta propiedad equivale a la de compacidad (según la Definición 1.1). Asímismo, Fréchet estableció el concepto de totalmente acotado, el cual también fue desarrollado por Hausdorff.

Los axiomas para un espacio normado aparecieron en un trabajo de F. Riesz en 1918 sobre el espacio de funciones continuas definidas en un intervalo [a, b]. Sin embargo, el primer tratamiento abstracto del tema fue desarrollado por S. Banach en 1920 en su tesis.

Retrocediendo unos 40 años, G. Ascoli introdujo en 1883 la noción de equicontinuidad y demostró el teorema que, en términos modernos, caracteriza los conjuntos compactos de funciones continuas. Posteriormente, en 1895, C. Arzelá proporcionó otra demostración de este resultado.

BIBLIOGRAFIA

1. R. A. Adams, Sobolev spaces. Academic Press, New York, 1975.

2. T. M. Apostol, Mathematical analysis. Addison-Wesley Publishing Co., Reading Mass., 1957.

3. N. Bourbaki, Elementos de historia de las matemáticas. Alianza Universidad, Madrid, 1976.

4. E. Hewitt, The role of compactness in analysis. Amer. Math. Monthly, 67(1960), 499-516.

5. A. N. Kolmogorov, Über kompaktheit der funktionenmengen beider konvergenz in mittel. Nachr. Gess. Wiss. Göttg., 1(1931), 60-63.

6. S. Lang, Real analysis. Addison-Wesley Publishing Co., Reading Mass., 1969.

7. L. A. Liusternik and V. J. Sobolev, Elements of functional analysis. Frederick Ungar Publishing Co., New York, 1961.

8. W. Rudin, Functional analysis. McGraw-Hill, New York, 1973.

9. J. D. Tamarkin, On the compactness of the space L_{p}. Bull. Amer. Math. Soc., 38(1932), 79-84.

10. K. Vala, On compact sets of compact operators. Ann. Acad. Sci. Fenn. Ser. A, I351(1964), 1-9.

11. S. Willard, General topology. Addison-Wesley Publishing Co., Reading, Mass., 1970.