CONDENSADO DE TEORÍA DE NORMA (GAUGE)

Andrei Tyurin

La Teoría de norma (gauge), que fundamenta la Física moderna de partículas y las teorías de interacciones fundamentales, está basada en el principio fundamental ”la Física no debe depender de cómo está descrita”, así como en el principio de relatividad general de la teoría de gravitación. Desde 1982 el uso de teorías de norma en Matemáticas puras ha permeado desarrollos exitosos en Geometría Diferencial y en Ecuaciones Diferenciales.

Entre los aspectos físicos el principio de invariancia local de norma ha sido extendido de un prototipo simple de electrodinámica clásica con grupo de norma abeliano a un grupo de norma mas general no-abeliano por Yang y Mills en 1954 como un modelo para las interacciones de partículas elementales. Ahora es claro que esa extensión en Teoría Cuántica de Campos describe exitosamente las interacciones fuertes de quarks y las fuerzas electrodébiles de los quarks y leptones.

El desarrollo físico para el proceso de cuantización para campos de norma no abelianos, vía las reglas de Feynam relevantes y la renormalización perturbativa, son mas sutiles que para su prototipo: Elelctrodinámica Cuántica. La versión correcta fue propuesta por DeWitt, Faddeev y Popov en 1967. En especial la unitariedad perturbartiva requiere la introducción de partículas fermiónicas fantasmas de spin cero.

El otro problema es que por el teorema de Goldston, simetría global implica la existencia de partículas sin masa escalar, que no son deseadas desde el punto de vista fenomenológico. Afortunadamente, el mecanismo de ruptura espontánea de la simetría de norma evita este problema, como fue mostrado por Higgs en 1964. Este mecanismo no destruye la renormalización de la teoría, como fue mostrado por ’t Hooft en 1971, y durante la siguiente década se construyó el modelo consistente que unificaba las interacciones electromagnéticas y débiles usando SU(2) × U(1) como grupo de norma, como ya había sido propuesto por Glashow en 1960. El mecanismo de Higgs fue añadido a la teoría por Weinberg y Salam en 1967. Este predecía corrientes débiles neutras de intensidades de apareamiento definidas y propiedades de transformación descubiertas en CERN en 1973 y verificadas en detalle en SLAC en 1978. Este éxito fue recompensado con el Premio Nobel para Glashow, Salam y Weinberg en 1979. El premio fue vindicado cuando los bosones Z y W fueron encontrados con las masas predecidas en CERN en 1983. Por este descubrimiento Rubia y Van der Meer compartieron el Premio Nobel en 1984.

Un aspecto más especulativo es la aplicación de teorías de norma a interacciones fuertes. La Cromodinámica Cuántica (QDC) basada en el SU(3) de color, fue considerada como aceptable por la libertad asintótica descubierta por ’t Hooft, Politzer Gross y Wilczek en 1973. Explicaba el peculiar apareamiento débil de quarks a distancias cortas (≥ 10^{−14} cm.) y lleva al confinamiento de quarks a distancias grandes (de alrededor de 10^{−13} cm.), que fue fuertemente sugerida por los estudios por computadora de Creutz y otros, usando la red discretizada de espacio-tiempo sugerida por Wilson en 1974.

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Finalmente el tema más especulativo es la gran unificación de la baja energía SU(3) × SU(2) × U(1), que requiere un grupo más grande (por ejemplo SU(5), propuesto por Georgi y Glashow en 1974). Esta unificacíon no presupone nuevos principios físicos entre 100 GeV y 10^{14} GeV. A la fecha ninguna prediciíon de estas teorías ha sido confirmada experimentalmente, excepto el angulo de mezcla electrodébil.

Las teorías de norma, como tema de investigación en matemáticas, han sido desarrolladas por varios matemáticos desde finales de los 70s. Las aplicaciones de la teoría de Yang-Mills a los misterios de la Topología de 4-variedades y a la solución de problemas, que han sido planteados en esta area por mas de un cuarto de siglo, fue desarrollada por Donaldson desde 1982. La solución al problema de formas de intersección negativas, estructuras diferenciables exóticas, la invariancia diferenciable de la clase canónica; es una lista breve de las aplicaciones de teoría de norma a la Topología Diferencial en dimensión 4. Aplicaciones exitosas de Teoría de norma a la interpretación de invariantes de 3-variedades, por Tabues en 1990, y la descripción de la interacción entre Geomtería de Conexiones - norma- en las dimensiones adyacentes 2, 3 y 4; descubiertas por Atiyah, Donaldson, Hitchin y otros; ha unificado ideas de Teorías Cuánticas de Campos, y han jugado un papel importante en marcar la dirección de la investigación moderna en Geometría. En los últimos tres meses de 1994, y usando un nuevo tipo de ecuación geométrico-diferencial propuesta por Seiberg y Witten, se pudieron resolver problemas que llevaban tiempo de haber sido planteados, resultados nuevos e inesperados fueron encontrados, además de haber logrado nuevas demostraciones mas sencillas a teoremas existentes y haber abierto nuevos puntos de vista en investigación. Destacando entre muchos matemáticos, Kronheimer, Mrowka, Morgan, Fintushel, Stern, y Taubes; basados en ideas seminales de el trabajo de los físicos Seiberg y Witten.

Conceptos fundamentales de las Teorías Clásicas de Norma. Electromagnetismo fue el punto inicial de las teorías locales de norma, más precisamente la teoría de una partícula cargada moviéndose en un campo clásico electromagnético. Un campo abeliano (el caso clásico electromagnético) está dado sobre un dominio Ω del espaciotiempo por una conexión unitaria a en un haz lineal L (un potencial de norma), módulo la acción del grupo de (invariancia local de norma) automorfismos unitarios de L (el grupo de transformaciones de norma). Si el dominio Ω es simplemente conexo, entonces un campo electromagnético está dado de manera única por el tensor de curvatura F_{a} de la conexión a, que es una 2-forma diferencial en Ω (el tensor de campo electromagnético). Una conexión en L está dada como un operador diferencial de orden 1 en el espacio de secciones de L con la diferencial usual como símbolo principal (una derivada covariante), por lo que la diferencia de un par de conexiones es una 1-forma diferencial en Ω. Entonces el conjunto de todas las conexiones en L es un espacio afín sobre el espacio de 1-formas. En especial, si el dominio Ω es simplemente conexo, y L es trivial y admite una conexión fija a_{0}, entonces cualquier otra conexión a está determinada de manera única por la 1-forma diferencial ω = a − a_{0}, que es el término tradicional para un potencial de un campo electromagnético. Históricamente el concepto de campo electromagnético introducido en la Física Clásica, define un campo en un punto del dominio como la fuerza que una carga clásica (por ejemplo la carga de un electrón) podría experimentar cuando es colocada en ese punto; así un campo se define por el tensor de curvaura (el tensor campo de fuerza) del potencial como fue concebido por Faraday y Maxwell. Pero el potencial mismo fue considerado como una cantidad subsidiaria, por conveniencia de las manipulaciones matemáticas. Sin embargo, en la teoría cuántica los electrones están descritos por una función de onda, con una fase que depende del potencial de norma en el dominio. Esto fue demostrado por uno de esos experimentos realmente fundamentales en Física ideado por Aharonov y Bohm en 1959 y llevado a cabo exitosamente por primera vez por Chambers en 1960. El arreglo de este experimento es bastante simple: se hacen pasar electrones emitidos de una misma fuente, en ambos lados de una región magnetizada hasta llegar a una pantalla. El campo magnético se restringe en el dominio cerca del centro de la región, de tal manera que en la región que atraviesan los electrones el campo tensorial es idénticamente cero. Bajo los supuestos de Mecánica Clásica, no debe haber interacción de los electrones con el campo. Pero en una teoría cuántica, la fase de una función de onda de electrones depende del potencial de norma: la diferencia de fase medida entre los electrones que chocan contra la pantalla que viajaron por las dos trayectorias diferentes, es simplemente el flujo total magnético rodeando el centro de la región. Así la fase relativa en un mismo punto del dominio en el espacio-tiempo es (una cantidad) observable física, porque los electones llegando al mismo punto de la pantalla a través de dos trayectorias distintas rodeando el centro del dominio, van a interferir constructiva o destructivamente dependiendo de que estén en fase o fuera de fase, como se calcula por la fórmula del flujo total magnético que fluye a través del centro. La validez de esta fórmula ha sido verificada por Chembers y otros bajo una variedad de condiciones experimentales. La consecuencia positiva de este famoso experimento es la pieza mas fuerte de evidencia que hacen de los principios básicos del electromagnetismo una teoría de norma.

Por ello, el conocimiento del tensor electromagnético de campo F_{a} en el dominio Ω recorrido por los electrones es todavía insuficiente para determinar la fase de la función de onda del electrón en la teoría Cuántica. Como variable dinámica, F_{a} no describe completamente la teoría cuántica de una partícula cargada moviéndose en un campo electromagnético. Para hacer una descripción completa del fenómeno físico, fue suficiente añadir el potencial de norma a como variable dinámica. Sin embargo a tiene la desventaja de describir el sistema con mas información, porque diferentes valores de a pueden corresponder a exactamente las mismas condiciones físicas. De hecho, la acción del grupo de norma da el mismo valor para la diferencia de fases, y por lo tanto el mismo esquema de difracción en la pantalla del experimento de Aharonov-Bohm. Pero aún la diferencia de fase no es una cantidad observable, porque si se cambia la carga por un múltiplo entero de 2π el esquema de difracción permanecerá igual. Lo que realmente era una observable física en el experimento de Aharonov-Bohm es el factor fase de Dirac:

Φ(c) = exp i · e ∮_{C}(a − a_{0})

donde la integral de línea en la exponencial esta tomada sobre una curva cerrada como un círculo alrededor del centro (aqui e es la carga del electrón). Este da correctamente el efecto de fase de la función de onda del electrón, y lo que no dan a y F_{a} por sí solos. Así que si fijamos el tensor de campo F_{a}, entonces el espacio de parámetros escondidos para la descripción precisa del fenómeno cuántico físico es el toro

H^{1}(Ω, ℝ)/H^{1}(Ω, ℤ)

donde H^{1}(Ω, ℝ) es el grupo de cohomología del dominio Ω con coeficientes reales, y H^{1}(Ω, ℤ) con coeficientes enteros.

Teorías de norma no-abelianas, como la teoría de Yang-Mills originalmente propuesta en 1954, son una generalización del magnetismo, donde el haz lineal L es sustituido por un haz vectorial de rango mas grande E_{h} junto con una estructura hermitiana h. Una fibra de E_{h} sobre cualquier punto del espacio-tiempo es un espacio interno y por cambio de ”fase” entendemos un cambio en el espacio interno por una transformación unitaria. En la teoría original de Yang-Mills E_{h} es de rango 2 y el grupo de transformaciones locales es SU(2), que fue propuesto para una descripción de fuerzas relacionando nucleones -protones y neutrones- que no se pueden distinguir bajo apareamiento fuerte por la inviariancia isotópica. Más generalmente, en Física es usual llamar al grupo de simetrías de dimensión finita G de un espacio interno el grupo de norma y al grupo de dimensión infinita de transformaciones del espacio-tiempo G el grupo de transformaciones de norma. En el contexto matemático estos se llaman el grupo de estructura y el grupo de norma respectivamente. Así, la diferencia de dos conexiones (a − a_{0}) es una 1-forma diferencial con coeficientes en el álgebra de Lie de G y el tensor de curvatura es una 2-forma diferencial con coeficientes el la misma álgebra de Lie. Ahora es facil ver que el mapeo F : A(E_{h}) → Ω^{2}(adE) del espacio de conexiones al espacio de dos formas, que manda una conexión a su forma de curvatura, es equivariante con respecto al grupo de transformaciones de norma G actuando por transformaciones adjuntas en el álgebra de Lie. En el caso no-conmutativo el proceso de transporte paralelo a lo largo de cualquier trayectoria es un poco más complicado: por convención se escribe tambien simbólicamente el resultado del transporte paralelo a lo largo de la trayectoria γ como P exp i · e ∮_{γ}(a − a_{0}) donde P denota integral ordenada por trayectoria, que significa el producto de las exponenciales en los segmentos infinitesimales, ordenados de izquierda a derecha conforme uno recorre la curva γ. De nuevo el factor ”fase” ordenado por trayectoria sobre una curva cerrada:

Φ(C) = P exp i · e ∮_{C}(a − a_{0})

es análogo al factor fase de Dirac y algunas veces se le llama línea de Wilson en este contexto, y tiene las propiedades requeridas pra describir la física. La dependencia de norma del punto inicial (o del final) puede ser removida tomando trazas. En lenguaje matemático este factor fase es la holonomía de la conexión a a lo largo de C. Es fácil ver que el factor fase en el caso no-conmutativo no es la exponencial de la integral de línea y esta diferencia con el electromagnetismo es fundamental. En particular no parece existir una generalización útil del concepto electromagnético de flujo a la teoría de Yang-Mills. Además resulta que en situaciones físicas, como en la teoría electrodébil y en cromodinámica; las condiciones son tales que no ha sido posible desarrollar experimentos viables del tipo de Aharonov-Bohm.

En 1931 Dirac observó uno de las más intrigantes características de las teorías locales de norma: la aparición natural de monopolos como obstrucciones topológicas. En electrodinámica un monopolo magnético, como obstrucción topológica, es equivalente a su definición convencional de fuente de flujo magnético. De hecho, si S es una superficie en el dominio Ω rodeada por una familia a un parámetro de lazos cerrados {C_{t}}, etiquetados por el parámetro 0 ≤ t ≤ 2π, de tal forma que c_{0} = C_{2π} = p_{0} es un punto fijo; cuando t varía continuamente de 0 a 2π los factores fase de C_{t} trazan un lazo continuo γ en el grupo de norma U(1). Si la clase de homotopía [γ] ∈ π_{1}(U(1)) = ℤ es no trivial, entonces tenemos un monopolo en la superficie S. Es fácil calcular el flujo magnético total a traves de S: si [γ] = n bajo el isomorfismo π_{1}(U(1)) = ℤ entonces el flujo magnético total emergente de S es 2π · n/e o la carga magnética cubierta por S es ẽ = n/2 · e donde e como de costumbre es la carga eléctrica. Así la carga magnética no puede tomar otros valores que múltiplos enteros de 1/2 · e. Este resultado es la celebrada condición de Cuantización de Dirac. De aqui se deduce que la carga magnética cuantizada es una cantidad conservada tanto en dinámica clásica como cuántica. La descripción matemática de este fenómeno es bastante simple: un haz lineal L equipado con su métrica hermitiana h define un único haz de círculos sobre Ω. La restricción de este haz a S es no trivial si S envuelve a un monopolo. La carga magnética es la clase característica de este haz de círculos.

De la misma manera, se pueden tener monopolos no abelianos, como obstrucciones topológicas, para cualquier grupo de norma no abeliano G con elementos no triviales del grupo de homotopía para los que corresponden otros tipos de cargas. Por definición estas cargas son discretas y están también cuantizadas en cierto sentido y también son cantidades conservadas. Para evitar confusiones se tiene que enfatizar que en ciertas teorías no abelianas con ruptura espontánea de la simetría pueden existir soluciones que tengan cargas de monopolos, como los solitones SO(3) de ’t Hooft-Polyakov (1974). Son exactamente U(1)-monopolos en una teoría con un grupo mas grande de norma. Estos solitones magnéticamente cargados son topologicamente U(1)-sub-haces (abelianos) no triviales de un haz no abeliano, pero trivial, con grupo SO(3). Para describir el mecanismo matemático de la existencia de este tipo de ”solitones tipo monopolos” hay que considerar un lagrangiano que tiene una conexión y un campo auxiliar en ℝ^{3} con una G-orbita G/H que se supone topologicamente no trivial. La clase de homotopía aparece como un tipo de carga topológica del sistema.

En el espacio-tiempo 4-dimensional, el operador ∗ de Hodge actúa en las 2-formas como una (anti)-involución. En este caso, un campo de norma F_{a} define un nuevo campo de norma ∗F_{a} por el lema de Poincaré. Un monopolo del campo de Maxwell F_{a} puede ser considerado como una fuente del campo dual de Maxwell ∗F_{a}, de la misma manera que una carga eléctrica se considera como un origen del campo de Maxwell F_{a}. Entonces, una carga eléctrica puede también ser considerada como un monopolo del campo dual ∗F_{a}. Ahora, la definición topológica de una carga de monopolo basta por sí misma para determinar la interacción campo-monopolo, y lleva a un único conjunto de ecuaciones de movimiento en cada uno de los casos clásico y cuántico -las ecuaciones de Maxwell y Lorentz; que fueron deducidas por Maxwell y Faraday de los experimentos. Una característica nueva en el caso cuántico es el fenómeno de la duplicidad quiral: las ecuaciones de movimiento poseen una invariancia local de norma bajo nuevas transformaciones y el sistema es U(1) × { \atop U(1)} invariante, donde { \atop U(1)} tiene la paridad opuesta al U(1) original y esta asociado con el potencial del campo dual ∗F_{a}.

Esta simetría dual del electromagnetismo -una simetría entre el campo y el campo dualasí como también entre una fuente y un monopolo, no puede extenderse a teorías clásicas no abelianas. Por ejemplo, fuentes y monopolos son objetos diferentes en general: para una teoría con grupo SO(3), las cargas de las fuentes son ”números” de representaciones de grupos, mientras que las cargas de monopolos estan etiquetadasd por π_{1}(SO(3)) es decir, por un signo. Sin embargo, usando variables de lazos se puede obtener esa casi-simetría dual entre las ecuaciones para el monopolo no abeliano y para las ecuaciones de Wong de la fuente.

Estas cuestiones acerca de la existencia de monopolos deberían ser solubles en principio para encontrar formas para detectarlos por medio de experimentos. Existe aún la intrigante posibilidad de que algunas de las partículas que ya conocemos sean en realidad monopolos en lugar de fuentes. Sin embargo, se cree que son todas fuentes obedeciendo la dinámica prescrita por la teoría de Yang-Mills y esto está ya apoyado por un número grande de evidencia experimental.

En las aplicaciones prácticas de las teorías de norma se tiene que enfrentar con las llamadas simetrías espontáneamante rotas. Para describir la evolución en el tiempo de un sistema físico se tiene que usar un principio de acción. Para teorías de norma, la acción tiene que ser invariante bajo cambios locales de norma (gauge): por ejemplo en el caso puro de Yang-Mills, se tiene

S(a) = ∫ |F_{a}|^{2} = ∫ |da + \frac{1}{2}[a, a] |^{2},

donde la conexión a es la variable con estado base dado por la conexión plana a = 0 y con términos cuadráticos

∫ |da|^{2} + O(a^{3}),

que involucra derivadas de a. Entonces la partícula correspondiente tendría masa cero: un ”vector bosónico de masa nula” que son fenomenológicamente no deseados; pero no es posible escribir ningún lagrangiano que sea invariante bajo el grupo de norma con términos cuadráticos en a, en lugar de sus derivadas. Si el campo de norma está ausente, se consideran otros campos -secciones de fibrados asociados-, por ejemplo un campo ψ que es una función compleja vectorial, el Lagrangiano |Δψ|^{2} + U(ψ) donde U es invariante bajo el grupo de norma G. El estado base está dado por cualquier función constante cuyo valor es mínimo de U, y por esto, la elección de estado base rompe la simetría bajo G. Esta ”simetría espontáneamente rota” nos lleva de nuevo a partículas sin masa, no deseadas. Sorpresivamente estos dos fenómenos objetables desaparecen cuando ponemos las dos situaciones al mismo tiempo y consideramos un Lagrangiano que involucra una conexión y un campo auxiliar: la elección de un estado base nos da también una trivialización del haz relevante que absorbe la libertad de elección en norma (gauge). Entonces la interacción entre el campo de norma y el campo auxiliar nos permite tratar con las partículas de masa cero. Este es el mecanismo de Higgs (Guralnik, Hagen, Kibble, Englert, Brout), que da el modelo de Weinberg-Salam para leptones, la versión renormalizable de la teoría de Glashow.

Para el proceso de cuantización de Feynman de las teorías de norma no-abelianas es muy importante describir el tipo de homotopía del espacio de órbita: B = A_{h}/G, donde A_{h} es el espacio afín de conexiones hermitianas donde actúa el grupo de transformaciones de norma (gauge). Una norma global o una elección de norma es una sección del fibrado A → B. Si tal sección existe, entonces A_{h} tiene el tipo de homotopía del producto directo G×B que esta en contradicción con la contractibilidad de A_{h}. Este efecto es conocido como la ambigüedad de Gribov. Sin embargo, existe un número de casi-secciones dadas por la condición d⋆a (ó div(a−a_{0}) = 0), la norma covariante o de Lorentz dada por el mismo tipo de condición para la pseudo-métrica Riemanniana en el espacio-tiempo, la norma radial , y así sucesivamente. Para evitar nuevos infinitos en la integral de Feynman, originados por el volumen infinito de una órbita, se tiene que usar el truco de Fadeev-Popov: sean f_{n}(a) para n = 1, 2, …, cualquier condición que fija la norma; y θ_{m} los parámetros del grupo de norma G, (por ejemplo SU(2) y Δ_{f}[a] = det ∥δf_{n}/δθ_{m}∥. Entonces añadiendo la medida funcional del multiplicador Δ_{f} · δ[f(a)] se pueden evitar las integraciones innecesarias. Escribiendo el determinante como un exponente:

Δ_{f}[a] = exp {1 + (tr(ln∥δf_{n}/δθ_{m}∥) − 1}

uno puede considerar el exponente de la serie de Taylor de ln(1 + …) como la descomposición en lazos asociada a campos fantasmas ficticios. Así que matemáticamente hablando, el fantasma es la restricción de la variación funcional logarítmica en G a la órbita. La restricción de la variación funcional en A_{h} a la órbita define el operador BRST. El Lagrangiano efectivo de la cuantización no es invariante con respecto a las transformaciones de norma, pero lo es con respecto al operador BRST. De esto se pueden obtener los análogos de las identidades de Ward, llamadas identidades de Slavnov-Taylor, relacionando las funciones de Green, que en las teorías no abelianas son mucho mas fuertes que en las teorías originales abelianas. El operador BRST es nilpotente de orden 2, por lo que las observables cuánticas pueden ser considerados como clases de cohomología. Por otro lado, usando la condición de consistencia de Wess-Zumino, se puede calcular completamente la anomalía no-abeliana por su primer término. Todas estas construcciones fueron usadas en los modelos de Cromodinámica Cuántica (QCD) y los de las Teorías de Gran Unificación.

La generalización natural de la teoría de Yang-Mills es la versión super-simétrica de la misma. El proceso de cuantización perturba la mitad de las supersimetrías dadas por el número N solamente. Por otro lado, algunas de estas teorías como tales son realizaciones cuánticas de la dualidad electromagnética clásica de la teoría abeliana de Maxwell. Por ejemplo, la dualidad de Montonen-Olive de la super teoría cuatro dimensional N = 4 no abeliana de Yang-Mills intercambia los bosones de norma, que se consideran típicamente como campos fundamentales, con los monopolos de ’t Hooft-Polyakov que aparecen como soluciones solitones de ecuaciones clásicas de campos, intercambiando también campos magnéticos y eléctricos. Si las constantes de acoplamiento duales, λ y λ_{D} están relacionadas por λ_{D} = 1/λ, entonces en el límite λ_{D} → 0 correspondiente a λ → ∞, y uno habla de S-dualidad. Esto relacionará acoplamientos débiles λ = 0 con acoplamientos fuertes λ_{D} = ∞. Un ejemplo típico en Mecánica Estadísitca de tal dualidad es la dualidad de Kramers-Wanier del modelo de Ising.

Aplicaciones Matemáticas de las teorías de norma. La teoría de Yang-Mills para métricas Riemannianas fue aplicada exitosamente a la Topología Diferencial de 4variedades. Las preguntas sobre estructuras diferenciables son importantes solamente en 4 dimensiones. Pero en esta dimensión física, la situación es muy delicada. Hay un número de factores como la existencia de ”ℝ^{4} exóticos” -variedades suaves, homeomorfas pero no difeomorfas a ℝ^{4}. Así, antes de la estructura de Lorentz en Relatividad General, está la elección de una estructura diferencial subyacente. En Topología Diferencial, si uno tiene una familia de ecuaciones diferenciables parciales, dependiendo de parámetros contínuos, uno puede encontrar invariantes de una estructura diferenciable a partir de la clase de homología del espacio solución. En el contexto de Topología Diferencial de variedades de Banach, se necesita desarrollar algunas cuestiones básicas: la linealización de la ecuación alrededor de la solución debe ser representada por ecuaciones diferenciales elípticas. El índice de la ecuación linealizada da la ”dimensión esperada” del espacio solución y después de perturbaciones genéricas adecuadas de la ecuación el espacio solución tiene esta dimensión. Además, se necesita establecer la compacidad del espacio de soluciones o algún análogo más débil de esto. Se necestia tener orientabilidad, si no, se tendrán solamente invariantes módulo 2. Las ecuaciones son invariantes bajo la acción del grupo de norma (el grupo de transformaciones de norma, en términos físicos) de automorfismos del fibrado: se estudia el espacio de soluciones módulo esta acción. Pueden ocurrir dificultades debido a soluciones reducibles, con un estabilizador no-trivial en el grupo de norma. Los invariantes de las 4-variedades que se obtienen de las ecuaciones de instantones son de este tipo: para una 4-variedad X, con un SU(2)-fibrado E → X con clase de Chern c_{2} = n y métrica Riemanniana g, uno estudia la ecuación de instantones: F_{a}^{+} = 0, para una conexión a en E, donde la descomposición F_{a} = F_{a}^{+} + F_{a}^{−} está dada por el operador ∗ de Hodge determinado por la métrica g, como una familia de ecuaciones diferenciables parciales con parámetro a. El espacio de órbitas de soluciones es el llamado espacio de moduli de instantones. La linealización de las ecuaciones, módulo la acción del grupo de norma, está dada por el operador:

(d_{a}^{∗} + d_{a}^{+}) : Ω^{1}(ad E) → Ω^{0}(ad E) ⊕ Ω_{+}^{2}(ad E)

que es elíptico con índice 8n − 3(1 − b_{1} + b_{2}^{+}) donde b_{i} denota los números de Betti y b_{2}^{+} es la dimensión del espacio de formas harmónicas auto-duales. Para métricas genéricas en X, el espacio de moduli de instantones M_{n} es una variedad de la dimensión esperada, fuera de las soluciones reducibles, y los conos de estas singularidades se pueden describir como conos sobre ℂP^{2}. Si b_{2}^{+} > 0 no hay soluciones redubibles para métricas genéricas, y si b_{2}^{+} > 1 no hay ni una solución reducible en familias a 1 parámetro. El espacio de moduli de instantones se puede orientar por una elección de orientación en la línea ⋀^{top}(H^{1}(X))⊗⋀^{top}(H^{2+}). Los espacios de moduli M_{n} no son compactos, pero tienen una compactificación bien entendida que permite definir una clase fundamental apropiada [M_{n}] que se evalúa con clases de cohomología adecuadas dando las funciones: μ_{i} : H_{i}(X) → H^{4−i}(M_{n}). Suponiendo que b_{1} − b_{2}^{+} es impar tenemos espacios de moduli de dimensiones pares 2d y la colección de polinomios de Donaldson:

q_{p, \frac{1}{2} (d−p)} =< μ_{2}(α)^{p} · ν^{\frac{1}{2} (d−p)}, [M_{n}] >,

donde a ∈ H_{2}(X) y ν = μ_{0}([punto]). Esta colección de polinomios en los grupos de cohomología está definida usando una elección de metrica Riemanniana en X; pero si b_{2}^{+} > 1 se tienen invariantes diferenciables, independientes de la elección de métrica. El caso en que b_{2}^{+} = 1 es un poco más complicado: los invariantes dependen de la elección de una cámara, la estructura Riemanniana determina una cámara en la cohomología de X vía su forma harmónica auto-dual. Los ”invariantes” cambian conforme uno cruza las cámaras debido a la presencia de soluciones reducidas. Kronheimer y Mrowka introdujeron la noción de 4-variedad de tipo simple. Para tales variedades los invariantes de instantones pueden ser codificados en una sola serie (formal) de potencias:

D(α) = ∑_{p=0}^{∞} \frac{1}{p!}q̃_{p}(α)

donde q̃_{p} = q_{p,0} si p = b_{2}^{+} + 1 mod 2, y a \frac{1}{2}q_{p,1} en otro caso. El teorema de estructura de Kronheimer y Mrowka establece que hay un número finito de clases -llamadas clases básicas- κ_{i} ∈ H^{2}(X) y coeficientes a_{i} ∈ ℚ tal que

D(α) = e^{α·α/2} ∑_{i} a_{i}e^{κ_{i}·α}.

Usando los espacios de moduli de instantones, Donaldson ha obtenido una colección impresionante de resultdos sobre la existencia y unicidad de 4-variedades suaves de un tipo topológico dado que están definidas de manera única por su forma de intersección si son simplemente conexas. Esta forma de intersección es una forma entera, unimodular en H^{2}(X, ℤ). La lista de los principales resultados es la siguiente:

Las únicas formas negativas definidas que se realizan como formas de intersección de 4-variedades suaves, simplemente conexas, compactas; son las formas estándares diagonalizables.

Entonces ninguna de las formas ”exóticas” (múltiplos de E_{8}, el retículo (latiz) de Leech, etc.) ocurren para 4-variedades suaves, cerradas.

Si la 4-variedad X es suave, orientada, y suma conexa de X_{i}’s, y si b_{2}^{+}(X_{i}) > 0, entonces todos los polinomios de Donaldson q_{p,0} = 0.

Si S es una superficie compleja compacta, simplemente conexa, con b_{2}^{+} > 2 entonces q_{p,0} ≠ 0 cuando p es suficientemente grande.

Y de esto se encuentran una cantidad de estructuras exóticas en superficies álgebraicas. Para cualquier superficie compleja S simplemente conexa con b_{2}^{+} > 2, existe una 4-

variedad X(S), homeomorfa pero no difeomorfa a S ni a ninguna superficie compleja. Aqui la 4-variedad X (llamada el topomodelo de S) se construye como suma conexa para que tenga la misma forma de intersección que S.

El siguiente ciclo de problemas se relaciona con el Problema de Thom y fue atacado exitosamente por Kronheimer y Mrowka. Siempre se pueden encontrar superficies Σ suaves, conexas, orientadas, encajadas en X; representando la clase de 2-homología α con género suficientemente grande g(Σ); pero un problema interesante es encontrar el mínimo género de un tal representante. Una conjetura famosa, normalmente atribuida a Thom, era que las curvas complejas Σ en una superficie álgebraica S minimizaban el género en sus clases de homología:

g(Σ) = \frac{1}{2}(α · α + K_{S} · α) + 1

donde K_{S} es la clase canónica de S. Kronheimer y Mrowka demostraron que

g(Σ) ≥ \frac{1}{2}(α · α + κ_{i} · α) + 1

para cualquier clase básica κ_{i}, si S es de tipo simple. Para muchas superficies complejas podía ser demostrado que K_{S} es una clase básica y así la conjetura de Thom fue probada. Fintushel y Stern concluyeron el teorema de estructura para muchas 4-variedades usando una ”descomposición en sumas conexas generalizadas” de una cuatro variedad X = X_{1} ∪_{Y} X_{2} dividida en dos partes por una 3-variedad Y. Un problema básico era encontrar fórmulas que relacionaran los invariantes de X con los de la suma conexa X#\overline{ℂP^{2}} imitando el proceso de blow-up de geometría álgebraica. Fintushel y Stern probaron que aunque X no sea de tipo simple existe una fórmula que involucra funciones elípticas. La construcción básica para este tipo de problemas es la teoría de la Homología de Floer de 3-variedades, que fue usada por Floer para demostrar la conjetura de Arnold en Geometría Simpléctica. Esta teoría es uno de los ejemplos que llevan a la idea de una Teoría Topológica Cuántica de Campos que desarrolló Witten en su reconocido trabajo sobre invariantes para nudos y 3-variedades. En 1993 extendió este punto de vista de Teoría Cuántica de Campos a invariantes de 4-variedades que podían ser interpretados como integrales funcionales, integrando sobre el espacio de conexiones y ciertos campos auxiliares. De hecho los invariantes son los valores de expectación naturales en una variante de la ”Teoría Supersimétrica de Yang-Mills N = 2”. Atiyah y Jeffrey dilucidaron las fórmulas de Witten, poniéndolas en un contexto geométrico diferencial general de una teoría de Chern-Weyl para la clase de Euler de un fibrado con una sección. Esta interpretación como Teoría Cuántica de Campos esta sujeta a las dificultades fundamentales involucradas en la definición rigurosa de la integral funcional. Pero el análisis como Teoría Cuántica de Campo del problema involucra un parámetro escalar t, que re-escala la métrica en la 4-variedad, y un parámetro complejo u relacionado con los campos auxiliares que aparecen en la integral funcional. Los invariantes pueden ser calculados para cualquier t. La interpretación en el espacio de moduli de instantones de los invariantes aparece en el límite t → 0, donde la atención se concentra en la región u = 0 y los campos auxiliares desaparecen. En el otro límite t → ∞ la situación está descrita por una función analítica τ de la variable u (con singularidades). Si b_{2}^{+} > 1, se puede mostrar que esta función τ es modular con respecto a la acción de SL(2, ℤ). El punto central de esta modularidad es una simetría u → u^{−1} que corresponde a una dualidad entre electricidad y magnetismo propuesta por Olive y Monotonen en 1977. Esta propiedad modular lleva a las funciones elípticas halladas por Fintushel y Stern en su bellísima fórmula para sumas conexas, y es tan fuerte que la función τ está totalmente determinada por su desarrollo de Taylor alrededor de los puntos especiales u = ±1. La evaluación de esos coeficientes origina los invariantes de Seiberg-Witten y los argumentos de Seibrg y Witten predicen que la función generatriz de los invariantes de instantones, para una 4-variedad de tipo simple, se pueden escribir (cuando b_{2}^{+} > 1) como:

D(α) = 2^{m(X)}e^{α·α/2} ∑_{c∈S_{0}} n_{c}e^{c·α},

donde m(X) = 2 + \frac{1}{4}(7χ(X) + 11σ(X)), donde χ(X) es la característica de Euler y σ(X) es la signatura de X, y

S_{0} = {c ∈ H^{2}(X, ℤ)|c^{2} = 2χ + 3σ; c = ω_{2}(X) mod (2)}.

Que esta suma sea finita es una consecuencia bellísima de las ecuaciones de Seiberg-Witten que involucran dos conceptos: Una conexión U(1) y un campo espinorial. Una estructura Spin^{ℂ} está dada por un par de ℂ^{2}-haces: W^{±} en X tal que la complexificación del espacio cotangente T^{∗}X_{ℂ} = W^{+} ⊗ W^{−}. Las ecuaciones de Seiberg-Witten para un par (a, ϕ), donde a es una conexión abeliana en el haz lineal ⋀^{2} W^{+} y ϕ es una sección de W^{+}; son

D_{a} = 0,
F_{a}^{+} = −ϕ ⊗ ϕ̄;

donde D_{a} es el operador de Dirac. Usando la fórmula de Weitzenbock-Lichnerowicz se puede probar que si existe una solución, entonces se tiene una cota superior en c^{2}, donde c = c_{1}(⋀^{2} W^{+}), y un conjunto finito de clases c en S_{0} ⊂ H^{2}(X, ℤ). Una descripción variacional de la ecuación de Seiberg-Witten está dada por la funcional

E(a, ϕ) = ∫_{X}(|D_{a}(ϕ)|^{2} + |F_{a}^{+} + ϕ ⊗ \overline{ϕ}|^{2}) · dμ + E_{0},

donde E_{0} depende solamente de la curvatura escalar R de la métrica en X:

E_{0} = ∫ \frac{R^{2}}{8} dμ + 2π^{2} · c^{2}.

Así que las soluciones de Seiberg-Witten son mínimos absolutos del funcional E en el haz lineal dado, de la misma manera que los instantones de Yang-Mills minimizan la funcional de Yang-Mills. La linealización de estas ecuaciones módulo norma abeliana está representada por (d^{∗} + d^{+}) actuando en formas ordinarias, y el operador de Dirac; esto da la dimensión virtual del espacio de soluciones como:

ind(d^{∗} + d^{+}) + ind_{ℝ}(D_{a}) = \frac{1}{4}(c^{2} − (2χ + 3σ)).

A partir de estimados a priori en las soluciones se obtiene el siguiente resultado: la compacidad de los espacios de moduli de Seiberg-Witten M_{S−W} (c) (en contraposición al caso de instantones). Los siguientes asuntos son las soluciones reducibles y la orientación. El primero es como en el caso de los instantones, y el segundo esta dado por la orientación del haz determinante ⋀^{top} H^{1} ⊗ ⋀^{top} H^{+}. Como c = c_{1}(⋀^{2} W^{+}) ∈ S_{0}, esto implica que la dimM_{S_{W}} (c) = 0, y la suma álgebraica de las soluciones da un invariante numérico n(c). La colección de clases con n(c) ≠ 0 se llaman las clases de Seiberg-Witten (o clases SW, para abreviar). Witten mostró que las clases de Seiberg-Witten de una superficie de Kähler son componentes fijos del sistema lineal canónico. Uno de los corolarios de este resultado es la solución final de un número de conjeturas importantes:

La clase canónica del modelo mínimo de una superficie álgebraica de tipo general con p_{g} > 0, es un invariante diferenciable modulo un signo.

La dimensión de Kodaira de una superficie de Kähler es un invariante diferenciable. Una nueva caracterísitica de la técnica de Seiberg-Witten es la no conformalidad de las

ecuaciones en contraste con el caso de Yang-Mills. Esto muestra que la clasificación de 4variedades con métricas de curvatura escalar positiva es totalmente distinta que en el caso de dimensión mayor, en que la única obstrucción proviene de teoría de cobordismo y clases características; esto es debido a un teorema de nulidad para los invariantes de Seiberg-Witten para variedades de curvatura escalar positiva. En particular una 3-variedad con curvatura escalar positiva no puede dividir a una 4-variedad que tenga invariantes de Seiberg-Witten no triviales de manera que b_{2}^{+} > 0 en cada lado. Como otra aplicación de las técnicas de Seiberg-Witten, Lebrun probó que cualquier variedad de Einstein que tenga invariantes de Seiberg-Witten distintos de cero satisface la desigualdad χ − 3σ ≥ 0. Para superficies complejas esto se reduce a la celebre desigualdad de Miyaoka c_{1}^{2} ≤ 3c_{2}.

Bibliografía.

Y. Aharonov, D. Bohm (1959) Phys. Rev. 115, 485. R.G. Chembers (1960) Phys. Rev. Lett. 5, 3. P. A. M. Dirac (1931) Proc. Roy. Soc. London A 133, 60. K. G. Wilson (1974) Phys. Rev. D 10, 2445. C. N. Yang, R. L. Mills (1954) Phys. Rev. 96, 191. S. K. Wong (1970) Nuovo Cim. 65 A, 689. L. D. Faddeev, V. N. Popov (1967) Phys. Lett. v. 25 B, 29. L. D. Faddeev, A. A. Slavnov (1978) ” Introduction to the Quantum Field Theory”,

Moscow, ”Nauka”.

C. Montonen, D. Olive (1977) Phys. Lett. 72 B, 117. M. F. Atiyah (1988) Publ. Math. I.H.E.S. 68, 175. M. F. Atiyah, R. Bott (1982) Phyl. Trans. R. Soc. London A 308, 523 S. Donaldson, P. Kronheimer (1990) ” The geometry of four-manifolds”, Oxford UP. N. Seiberg (1993) Phys. Lett. B 318, 469. N. Seiberg, E. Witten (1994) Nucl. Phys. B 431, 581. E. Witten (1994) Math. Res. Letters 1, 769.