Cuarta sesión (15 abr 2010)

Números de Fibonacci y la Razón Aurea.

• Conejos: en una granja, una pareja de conejos, despues de dos meses de vida, tiene una pareja de conejos cada mes, la cual despues de dos meses de vida tiene una pareja de conejos cada mes, y así sucesivamente. ¿Cuántas parejas de conejos habrá en el doceavo mes? Las cantidades de parejas que hay en cada mes en este problema se conocen como los números de Fibonacci: F₁=1, F₂= 1, F₃ = 2, F₄=3, F₅=5,..., F_n+1=F_n + F_n-1.

La Razón Aurea: un rectángulo tiene lados de longitudes a > b. ¿Cuál debe ser la razón a/b si queremos que al quitar un cuadrado de lado b la figura que sobre sea un rectángulo semejante al original? La (única) razón a/b que satiface esta condición se conoce como la razón áurea : φ=(1+√5)/2=1.618... .

• Números de Fibonacci y la Razón Aurea: las razones sucesivas F_n+1/F_n tienden a la razón áurea φ.

• Fracciones continuas, números de Fibonacci y la razón áurea: Considera las siguientes fracciones:

  1, 1+ 1/1, 1+1/(1+1), 1+1/(1+1/(1+1)), 1+1/(1+1/(1+1)), 1+1/(1+1/(1+1+1/(1+1))), ...

  Estas fracciones, al simplificarlas, son de la forma F_n+1/F_n, y tienden a la razón áurea. Asi obtenemos una expresión para la razón áurea como "fracción contínua":

  

La paradoja de Curry

Considera un triángulo rectángulo (rojo) de catetos de longitudes 8 y 3, y otro triángulo rectángulo (verde) de catetos de longitudes 5 y 2. Estos dos triángulos podemos acomodar en un triángulo rectángulo de catetos de longitudes 13 y 5. Hay dos acomodos, en uno el triángulo verde queda más arriba del rojo y en el otro arreglo queda más abajo. En un acomodo sobra un area de 15 y en el otro 16. ¿Cómo es posible?

Esto se puede hacer con cualquer 4 números de Fibonacci sucesivos, F_n, F_n+1, F_n+2, F_n+3 (el ejemplo arriba corresponde a n=3). Mientras más grande la n más dificil es notar "la trampa". La propiedad de los números de Fibonacci en la que está basado el efecto es F_nF_n+3- F_n+1F_n+2= ±1 .

Triángulo de Pascal y los números de Fibonacci

Coloca el número "1" en un papel. Abajo, en segundo renglón, coloca dos "1". A partir de allí, cada renglón comienza y termina con un "1", y abajo del punto medio de cada par de números consecutivos del renglón anterior se coloca su suma. El triángulo (infinito) de números obtenido de este modo se conoce como el "triángulo de Pascal".

Diagonales: Las sumas de los números sobre los "diagonales" en el dibujo son los números de Fibonacci.