Versión
fiel al material impartido, corregida
posteriormente al curso: 25.08.2005
LABORATORIO DE ONDAS
Dr. Eugenio
Kourmychev, Centro de Investigaciones en Óptica, A.C., León,
Guanajuato
Todo el mundo a
nuestro alrededor, a todas las escalas, vibra ("oscila"). Una de las
formas más naturales del comportamiento de la materia es oscilarse y/o
propagarse en forma de ondas. Ejemplos: en un átomo oscilan los electrones
alrededor de su núcleo; oscilan las moléculas, vibran los edificios y puentes,
tiembla la Tierra y los seres vivos, propagan las olas del mar y las ondas
electromagnéticas.... La propagación en ondas es esencial para la transmisión
de señales y de información en general. ¿Por qué y como vibran las cosas? ¿Qué
es una onda? ¿Qué tienen en común los fenómenos mencionados?
En este
curso-laboratorio contestamos de manera entendible e interactiva las preguntas
planteadas arriba y aprendemos los conceptos fundamentales de la teoría de
ondas y oscilaciones: oscilaciones y ondas, resonancia, polarización, caos, ...
Usamos como herramienta básica un aparato electro-mecánico simple pero versátil
y emocionante, llamado el "Mini Lab de Física". Adaptamos el nivel de
las Matemáticas utilizadas a los
participantes.
Objetivo del curso:
Despertar
el interés de estudiantes a la física de ondas y oscilaciones, involucrándolos
al proceso de investigación con los experimentos interactivos, emocionantes e
indicativos con el fin de enseñar los conceptos básicos y fundamentales de la
teoría de ondas y oscilaciones.
Metas del curso:
- Presentar un punto
de vista personal sobre el lugar de la ciencia, en particular de la
Física, en el mundo actual.
- Mostrar que todo el
mundo vibra y enseñar que son oscilaciones y ondas.
- Demostrar, usando la
teoría y experimentos simples con péndulos físicos, que el modelo de oscilador
armónico es un punto clave para explicar y entender a los muchos fenómenos
de la física de oscilaciones. La razón de oscilaciones es la existencia de
una fuerza restauradora que actúa sobre un objeto o sistema.
- Mostrar y Enseñar la
fuerza de Lorentz, la de interacción entre la corriente eléctrica y campo
magnético.
- Demostrar el
principio de generación de ondas en una cuerda elástica conductora (un
alambre delgado) usando la fuerza de Lorentz alterna que se debe a la
interacción entre una corriente eléctrica alterna y un campo magnético
estático (permanente). Explicar la diferencia entre los conceptos de
oscilación y onda.
- Resonancia es un
fenómeno de suma importancia para la vida y ciencia (tanto útil como
nocivo) que se debe a la respuesta de un sistema oscilatorio a una fuerza
externa armónica.
- Composición de
oscilaciones de la misma dirección y frecuencia, la interferencia
constructiva y destructiva.
- Polarización de
ondas (oscilaciones) como un resultado de Composición de oscilaciones de
la misma frecuencia, perpendiculares entre sí; figuras de Lissajous como
un resultado de composición de oscilaciones perpendiculares entre sí, pero
de frecuencias múltiples.
- Enseñar los
elementos básicos del análisis y la determinación de Parámetros
principales de un sistema ondulatorio: alambre delgado con corriente
eléctrica en un campo magnético
SESIÓN # 1. Introducción y una demostración de sistemas oscilatorios y ondulatorios
simples.
Movimiento oscilatorio de un
péndulo simple.
Objetivo:
Establecer el
contacto con el grupo de estudiantes y marcar la línea de desarrollo del curso,
mostrando la importancia de los fenómenos oscilatorios y ondulatorios para la
vida y ciencia.
Metas:
- Implementar los experimentos con un
péndulo físico simple para establecer la característica principal de éste:
la frecuencia y su dependencia funcional de los parámetros del sistema (longitud,
constante gravitacional, masa, forma, ...). Explicar que las oscilaciones
es un fenómeno de cambio repetitivo de un parámetro del sistema en el
tiempo (la dependencia de una sólo variable). Derivar la ecuación
movimiento de un oscilador armónico.
- Experimentos de generación de ondas
en cubetas de agua de diferente forma y diferente profundidad de agua.
Explicar que una onda es la propagación de una perturbación en medio que
depende tanto de tiempo como de (por lo menos) de una variable espacial.
Condiciones iniciales y de (en) la frontera.
- Primera demostración del equipo del
Mini Laboratorio de ondas.
Definición #1. Procesos que se distinguen por uno u otro grado
de repetición, reciben el nombre de oscilaciones (vibraciones). En general, las
oscilaciones es un cambio repetitivo de una característica (una variable, un
parámetro) de un sistema físico, químico, biológico, etc. con el tiempo.
Definición #2. Los procesos de transmisión de perturbaciones en
un medio se llaman ondas. Un requisito indispensable para éste fenómeno es un
medio, que es un conjunto de partículas (elementos) constituyentes con una
interacción entre ellas (ellos). En ondas se observan cambios de una o varias
magnitudes físicas dependientes tanto del tiempo como de las variables del
espacio (coordenadas).
Péndulo (matemático) simple.
El movimiento
oscilatorio armónico, que en forma general se describe mediante la función
,
(1)
es un ejemplo de
oscilaciones más simples en forma y, a la vez, fundamentales de suma
importancia.
Un ejemplo de movimiento oscilatorio
armónico es el movimiento de un péndulo simple; éste se define como una masa m puntual (que no tiene dimensiones y,
por tanto, la forma) suspendida de un punto O
mediante una cuerda (hilo) inextensible de longitud R y de masa despreciable (véase Figura 1). En el estado de
equilibrio del péndulo la cuerda se extiende a lo largo de la vertical OE. Cuando la masa se coloca en la
posición inicial I, de modo que la
cuerda forma un ángulo a0 con la vertical, y después se le suelta, el
péndulo oscila entre I y la posición
simétrica I’.
Figura 1. Péndulo simple
La componente
radial del peso, mg, se recompensa
por la fuerza de reacción del hilo. El movimiento oscilatorio se debe a la
componente tangencial 
del peso, mg, del objeto. Dado que la longitud de
la cuerda, por suposición, es una constante R,
la masa puntual se mueve a lo largo del arco del círculo con radio R. Como variables de observación del
movimiento del péndulo, podemos escoger el ángulo de desviación del hilo, a o la distancia 
a lo largo del arco
circular. Según la segunda ley de Newton, se tiene
, (2)
donde a es la aceleración de la masa m y el signo menos de la componente
tangencial se debe a que la fuerza se opone al desplazamiento . Recordando que la aceleración es la segunda derivada del
desplazamiento s en el tiempo, 
de la Ec. (2) se
obtiene la relación
o, dividiendo
sobre mR,
. (3)
Suponiendo que
las oscilaciones son de una amplitud pequeña, es decir, 
, se tiene la aproximación, 
. Sustituyendo esta relación en Ec. (3), se tiene la ecuación
(diferencial de segundo orden) de oscilador armónico,
,
(4)
que representa la
relación funcional entre la variable observable 
, el ángulo de desviación del péndulo, y parámetros del
sistema, g y R. De la ecuación vemos que las oscilaciones del péndulo simple no
dependen de la masa m, sino dependen únicamente de la combinación 
de parámetros g y R. La solución general de Ec. (4) es la
función
, (5)
donde A es la
amplitud constante y
es la fase inicial de oscilaciones. El parámetro
,
(6)
es la frecuencia,
es decir, el número de oscilaciones por un segundo. La magnitud inversa a la
frecuencia,
(7)
se denomina el
periodo de oscilaciones que nos da el tiempo en que transcurre una oscilación
completa.
Se analiza la gráfica de
oscilaciones armónicas, Ec. (5) y el comportamiento del periodo de oscilaciones
en función de los parámetros de R y g.
A diferencia de un péndulo
(matemático) simple, un péndulo físico
simple, es un objeto de masa m suspendido de un punto O mediante una cuerda. ¿Cuáles son los parámetros principales de
éste sistema que determinan (influyen) sobre sus oscilaciones? (La lista
tentativa: R – longitud de hilo; mg - la fuerza gravitacional, mediante
la masa del objeto m y la constante g; la forma del objeto; la elasticidad
de del hilo; la masa del hilo; ...). Por razonamiento y mediante los experimentos,
establecer la influencia de cada uno de los parámetros enlistados sobre las
oscilaciones del péndulo físico simple.
Se habló
de cubetas con agua y cuerdas elásticas (alambres delgados) como medios para la
generación de ondas.
Resumen, Conceptos y
términos importantes:
Oscilaciones
(vibraciones); Fuerza restauradora; Péndulo matemático (físico) simple;
Oscilaciones armónicas; Frecuencia y Periodo de oscilaciones armónicas.
Ondas, medio de
propagación de ondas.
SESIÓN # 2. Péndulo matemático (ideal) y físico simple.
Ejemplos de sistemas
ondulatorios – ondas en la superficie de agua y en cuerdas.
Objetivo: Mostrar la diferencia entre un péndulo matemático (ideal) y un péndulo
físico (real), comprobando los resultados de análisis teórico a través de
experimentos con un péndulo físico simple. Demostraciones de generación de
ondas en la superficie de agua y en las cuerdas elásticas (alambres de cobre
delgados).
Metas:
- Enseñar la metodología y elementos de
análisis crítico de un modelo teórico de oscilador armónico, empleando
experimentos de medición del periodo de oscilaciones de un péndulo físico
simple en función de sus parámetros.
- Ampliar la ecuación de oscilaciones
armónicas incluyendo los términos correspondientes al amortiguamiento y
fuerza externa.
- Mostrar la generación de ondas de
diferente naturaleza (ondas en superficie de agua en diferentes cubetas y
ondas en alambres delgados con corriente eléctrica en un campo magnético).
- Mencionar y explicar brevemente los
fenómenos ondulatorios fundamentales que son interferencia, difracción,
refracción.
Se hace un
resumen de la sesión anterior: conceptos y términos principales, los pasos
principales de la derivación de ecuación de movimiento de un péndulo matemático
simple (oscilador armónico) con análisis de suposiciones para definir el
dominio de su dominio aplicabilidad.
Péndulo matemático (ideal) simple
Suposiciones
hechas para la derivación de ecuaciones de movimiento (modelo matemático):
- Masa puntual, m (sin dimensiones y forma)
- Cuerda (hilo) de suspensión
inextensible, es decir, R =
constante
- Oscilaciones en vacío.
- Amplitud de oscilaciones pequeña, que
implica
.
Como resultados
se obtienen las ecuaciones (4), (5), (6)
y (7).
Definición: Un péndulo físico real es lo que no satisfaga por
lo menos uno de las condiciones indicadas anteriormente. Por tal razón, podemos
pensar que el período de oscilaciones de éste depende de más parámetros que el
del péndulo matemático. La lista de estos podría ser siguiente:
R – longitud del
hilo (medida del punto de suspensión, del centro de masa),
g – constante
gravitacional,
m – la masa del
objeto colgado de hilo,
A – amplitud de
oscilaciones,
La forma del
objeto, ...
Se toma un
péndulo físico real y Se hace una serie de mediciones del periodo de
oscilaciones (se mide la duración de tres oscilaciones), cambiando uno de los
parámetros y manteniendo los demás fijos. Resulta que, en general, el periodo
medido coincide bastante bien con el calculado por la formula (7), teniendo un
valor un poco mayor del último. Por razonamiento físico común, el incremento
del periodo se explica por un retardo del movimiento debido a la fricción del
péndulo con aire (la forma del objeto). Otra razón para el incremento del
periodo de oscilaciones proviene de la dependencia del periodo de la amplitud
de oscilaciones; se explica a través de la modificación de la frecuencia según
las formulas:
(
) y, por tanto, 
,
donde 
es el promedio por un
periodo de oscilación. De la
fórmula anterior se obtiene que la frecuencia angular modificada es igual a
.
(8)
De Ec. (8) se
obtiene el periodo modificado:
. (9)
Nótese que la
fricción del péndulo con el aire (ambiente), por lo general, es proporcional a
la velocidad de movimiento. Por tanto, agregando la fuerza de fricción 
y una fuerza externa 
a la Ec. (2) se
obtiene
.
Después de
dividir la última ecuación entre mR,
se obtiene una generalización del modelo de un oscilador armónico que se
presenta por la siguiente ecuación:
,
(10)
o, para las
oscilaciones de amplitudes pequeñas, ,
, (11)
donde 
es un constante de
fricción que depende del medio ambiente y la forma del péndulo; además, 
. La agregación de la fricción y la fuerza externa se
necesita para explicar el fenómeno de resonancia importantísimo.
Experimentos
con ondas en superficie de agua y en cuerdas.
La Primera serie de experimentos demostrativos
es con cubetas de agua profunda. Una cubeta se coloca sobre la mesa (de
preferencia la que puede vibrar fácilmente) y, golpeando la mesa con una o dos manos
y provocando las vibraciones de ésta, se generan diferentes patrones de ondas
en la superficie de agua. Se observa el cambio de patrones de ondas al cambiar
el ritmo y fuerza de golpes. Se observan patrones de ondas en cubetas de
diferente forma y con agua de diferente profundidad.
La segunda serie de experimentos es
con la cubeta cuadrada de agua poco profunda. De un lado de la cubeta esta
montado un brazo vibrador para la generación de ondas. Se puede cambiar la
frecuencia y amplitud de oscilaciones y “nariz” del vibrador electro mecánico
para generar las ondas de diferentes tipos. La cubeta tiene un fondo de vidrio
transparente y, además, se ilumina desde arriba por una lámpara de luz difusa
para la proyección del patrón de ondas sobre la mesa (véase la Figura 2).
Figura 2. La cubeta de agua poco profunda.
Cambiando la
nariz de vibrador (un punto, dos puntos, una placa plana) se generan ondas de
diferentes tipos: onda circular, ondas circulares de dos fuentes puntuales y su
interferencia, onda plana En casos anteriores puede variarse la frecuencia y
amplitud del vibrador, también. Introduciendo los obstáculos (placas de
aluminio delgadas) de diferente tamaño y en diferentes combinaciones y
localizaciones, se logra observar los patrones muy variados de interferencia,
difracción y reflexión (rebote de las fronteras de obstáculos) de ondas en agua
poco profunda (véase Figura 3).
Figura 3. Algunas de las configuraciones
(composiciones) de obstáculos.
La tercera serie de experimentos de
generación de oscilaciones y ondas se hace con alambres delgados de cobre con
la corriente eléctrica en un campo magnético. Se muestra el equipo de Mini
Laboratorio en Física de ondas, se menciona que su funcionamiento se basa en el
uso combinado de la fuerza magnetostática (la de Lorentz) y de la tensión en la
cuerda. Variando los parámetros del sistema (básicamente la tensión de las
cuerdas, la frecuencia de la corriente eléctrica alterna y la posición de imán
permanente) se logra observar ondas estacionarios y transitorias con diferentes
tipos de polarización (diferentes figuritas).
SESIÓN # 3. ¿Porque vibra una
cuerda de guitarra?
¿Porque vibra un alambre
delgado con corriente eléctrica en un campo magnético?
Objetivo: Hacer entender una razón de porque vibra una cuerda tensada, un alambre
delgado con corriente eléctrica en un campo magnético. Explicar las bases de
funcionamiento del Mini Laboratorio de Física de ondas.
Metas:
- Mostrar la causa de vibración de una
cuerda elástica tensada, perfectamente tensada.
- Fuerza magnética ejercida sobre una
corriente eléctrica.
- El campo magnético producido por una
corriente eléctrica (recta, infinita); interacción de dos corrientes eléctricas
rectas.
- Experimentos con Mini LAB, mostrando
los fenómenos indicados anteriormente.
1. Cuerda elástica tensada, perfectamente flexible
La razón porque un sistema físico
vibra es la existencia de una fuerza restauradora. Cuando una cuerda elástica
tensada se desvía de su estado de equilibrio (que es una línea recta), en cada
extremo de un elemento (trocito) de esta actúa la fuerza de tensión, T, que es
tangencial en estos puntos (vease la Figura 4). La suma vectorial de estas dos
fuerzas esta dirigida hacia la línea recta del estado de equilibrio, tratando
de regresar la cuerda a su estado de equilibrio. Sin embargo, al llegar esta en
su estado de equilibrio, por inercia sigue moviendo a un estado tensado opuesto
al inicial. En el nuevo estado de la cuerda, las fuerzas de tensión sobre los
extremos del segmento considerado resultan en una fuerza que es opuesta a la
del estado inicial. Dicha fuerza mueve la cuerda de regreso al estado de
equilibrio. Sin embargo, la inercia de movimiento de nuevo hace pasar la cuerda
por su estado de equilibrio. Esta situación se repite un numero de veces (un
numero infinito en ausencia de la fricción en el sistema), haciendo oscilar
(vibrar) la cuerda. Es decir, para una cuerda tensada, la fuerza restauradora
es una resultante de la fuerza de tensión.
Figura 4. Fuerzas tangenciales de tensión sobre
los extremos de un segmento de la cuerda oscilando
Los trocitos
(segmentos) de una cuerda interactúan entre si mediante la fuerza de tensión,
formando a esta causa un medio para la propagación de perturbaciones (ondas
transversales). Cuando la cuerda es finita y extremos de esta están fijos
(sujetadas en prensas), las perturbaciones rebotadas de los dos extremos se
encuentran en la cuerda, interfieren y forman ondas especiales, llamadas ondas
estacionarias, tales que existen puntos en la cuerda que no oscilan. Estos
puntos fijos se llaman nodos. Las ondas estacionarias se numeran por el número
de crestas que son zonas oscilantes de la cuerda. Los ejemplos de cuatro
primeros modos se presentan en la Figura 5.
Figura 5. Primeros cuatro modos normales de oscilación
de una cuerda tensada con extremos fijos.
Las oscilaciones
libres tienden a desaparecer cuando existe una fricción de la cuerda con el
ambiente que es común para cualquier sistema físico. Para mantener oscilaciones
un tiempo prolongado se requiere una fuerza externa que recompensa la disipación
de energía de la cuerda oscilante (vease Ec. (11) para la aclaración de la
tesis). A las oscilaciones de un sistema que surgen a causa de una fuerza
externa se les llaman forzadas. Las oscilaciones forzadas en el sistema de
cuerdas (alambres delgados) que forman el equipo del Mini LAB de Física de
Ondas se mantiene a causa de las fuerzas ejercidas por un campo magnético sobre
una corriente eléctrica.
2. La fuerza magnetostatica entre la corriente eléctrica
y un capo magnético
La fuerza que
ejerce un campo magnético, 
sobre un
elemento 
que tiene la dirección de la corriente eléctrica I, esta dada por la formula
(12)
Nota: Explicar a los estudiantes en breve que es el producto cruz de dos
vectores.
3. Ley de Ampere (Campo magnético de una corriente
eléctrica)
Resulta que una
corriente eléctrica produce un campo magnético y como fue establecido por el físico
francés Ampere (Ley de Ampere), la corriente eléctrica recta infinita (o en un
conductor bastante largo) genera un campo magnético según la formula:
, (13)
donde r es la distancia de punto de observación
del campo a la corriente recta, I es
la intensidad de la corriente y 
es vector tangencial a la circunferencia que
pasa por el punto de observación y con el centro sobre la corriente recta;
viendo en la dirección que apunta la corriente, el vector de dirección del
campo esta circulando contra las manecillas de
reloj. Es decir, la intensidad del campo magnético es una constante
sobre cada cilindro coaxial con la corriente, pero la dirección del campo es
tangencial a la circunferencia que se encuentra en el plano perpendicular al
eje.
4. Interacción magnetostatica entre las corrientes
eléctricas
Dado que una corriente eléctrica
produce un campo magnético en su alrededor, este campo ejerce la fuerza magnética
sobre cada elemento de otra corriente eléctrica según la Ec. (12). Es decir,
dos corrientes eléctricos interactúan entre si a través de la fuerza magnética.
El caso particular es la interacción de dos corrientes eléctricas rectilíneas
paralelas infinitas (conductores bastante largos). Usando las Ec. (12) y (13) se
puede demostrar que dos corrientes rectilíneas paralelas de intensidades I1 e I2 se atraen, cuando son de la misma dirección, y se repelen,
cuando estas son de direcciones opuestas, con la fuerza cuya magnitud por
unidad de longitud se calcula de la siguiente manera (véase la Figura 6): 
, donde r es la distancia de separación entre
las corrientes.
(a) (b)
Figura 6. Fuerzas de atracción (a) y repulsión (b)
de dos corrientes rectas
5. Experimentos ilustrativos con Mini LAB
¿Y que nos
muestran ellos? Una gran variedad de fenómenos ondulatorios: fenómeno de
resonancia para la generación de diferentes modos de ondas transversales
estacionarias, estabilidad de ondas estacionarias en cierto rango de parámetros
del sistema, importancia de condiciones iniciales y transitorios, simetría del sistema,
polarización, ....
SESIÓN # 4. Experimentación libre,
medio guiada
con Mini LAB.
Bases teóricos del fenómeno
de Resonancia.
Objetivo: apoyar a los estudiantes en la experimentación creativa y enseñar los
elementos básicos de análisis critico de fenómenos observados.
Metas:
- Enseñando en breve los principios de
funcionamiento del Mini LAB, permitir a los estudiantes el planteamiento
libre y ejecución de los experimentos con el Mini LAB.
- Presentar bases teóricas del fenómeno
de resonancia en sistemas vibrantes y, usando conocimiento adquirido,
hacer un análisis crítico de lo observado en los experimentos.
Bases teóricas del fenómeno de resonancia.
Todos sistemas
oscilatorios reales están sujetos a la fricción de un u otro grado. Por tanto,
la amplitud de sus oscilaciones disminuye con tiempo causando finalmente su
desaparición. Para mantener un sistema oscilando hay que suministrar la energía
a esta sistema. Esta función cumple una fuerza externa, el hecho que se
describe por la ecuación idéntica a la Ec. (11),
,
donde 
es la frecuencia
propia del sistema y x es la magnitud
oscilante de este. Un caso particular, pero muy importante es una fuerza
externa armónica (cosenoidal) de una frecuencia 
. En este caso la ecuación anterior toma la siguiente forma:
,
(14)
donde f0 es la amplitud constante
de esta fuerza. Resulta que bajo la acción de una fuerza armónica el sistema
termina oscilando con la frecuencia de la fuerza. A estas oscilaciones se les
llaman forzadas y ellas se describen por la siguiente formula,
,
(15)
donde la amplitud
de oscilaciones A depende tanto de
los parámetros del sistema, y 
, como de la fuerza, y 
de la siguiente
manera:
. (16)
La relación entre
la amplitud y la frecuencia de la fuerza esta presentada
gráficamente en la Figura 7. Estas son curvas de resonancia para diferentes
valores del coeficiente de amortiguamiento cuando los parámetros y son fijos. De acuerdo
con la Ec. (16), mientras que el factor de amortiguamiento se vuelve menor, mas arriba y a la derecha hacia desplaza el máximo de
la curva correspondiente. En otras palabras, la respuesta resonante del sistema
a la fuerza armónica es mayor cuando menor es la fricción del sistema.
Figura
7. Curvas de resonancia.
Con el fin de explicar la generación de diferentes modos normales de ondas
estacionarias en una cuerda por la fuerza magnetostatica alterna del Mini LAB,
recordamos que la frecuencia de oscilaciones de la cuerda en su n-esimo modo normal es igual a
, (17)
donde n es el número de modo normal, L es la longitud de la cuerda, T es la tensión en la cuerda y 
es su densidad de masa
lineal. Cuando todos los parámetros de la cuerda son fijos, las frecuencias de
modos normales son números múltiplos, proporcionales a n. Es por esto, cambiando gradualmente la frecuencia de la
corriente en la cuerda (que es la frecuencia de fuerza externa en este caso),
llegamos a la resonancia con cada modo normal
y provocamos las oscilaciones de la cuerda en cada de estos modos
consecutivamente. Por supuesto, sobre esto proceso influye la posición del imán
de tal manera que modos impares se generan con el imán en medio de la cuerda o
en un lugar cerca de una de las crestas (según la simetría del sistema). Como
regla general, para generar uno de los modos, el imán debe estar en un lugar
cerca de una de las crestas del modo normal correspondiente.
SESIÓN # 5. Composición de
oscilaciones de la misma dirección y perpendiculares entre si.
Objetivo: Explicar la composición de oscilaciones de la misma dirección y
perpendiculares entre si con el fin de entender mejor los fenómenos de
interferencia y polarización de ondas.
Metas:
- Enseñar las bases de interferencia de
ondas constructiva y destructiva a través de composición de oscilaciones de la misma
dirección y frecuencia, de frecuencias cercanas.
- Explicar el concepto de polarización
y figuras de Lisssajous a través de composición de oscilaciones
perpendiculares entre si, de la misma frecuencia y frecuencias cuya razón
es un numero racional.
Cuando un sistema físico se encuentra bajo la acción de dos fuerzas
restauradoras independientes, la oscilación resultante será un suma
(composición) de oscilaciones generadas por cada una de estas fuerzas. Dichas
fuerzas restauradoras pueden actuar en la misma dirección o en direcciones perpendiculares
entre sí. Por tanto, suelen distinguir entre composición de oscilaciones de la
misma dirección y en direcciones perpendiculares entre sí.
Composición de oscilaciones
de la misma dirección
Ejemplo: Cuando se observan las ondas en la superficie
de agua poco profunda (cubeta con agua), la magnitud que oscila es la elevación
de la superficie en un punto de observación. Las ondas generadas por dos
fuentes independientes (dos puntas de un alambre del vibrador electro mecánico)
se encuentran en dicho punto de observación para formar la onda resultante. En
este caso la elevación de superficie representa un ejemplo de composición de
oscilaciones de la misma dirección provenientes de dos ondas.
Suponemos que en un sistema físico las dos oscilaciones armónicas de la
misma frecuencia,
y 
(18)
ocurren en la misma dirección. Aquí, 
y 
son amplitudes y es la diferencia de
fase de dos oscilaciones (o la fase inicial de la segunda oscilación). Por
tanto, después de usar algunas formulas trigonométricas conocidas la oscilación
resultante será
, (19)
donde la amplitud 
y fase inicial se dan por las
siguientes expresiones:
y 
.
(20)
De Ecs. (19) y (20) vemos que la oscilación resultante es la armónica de la
misma frecuencia 
y de la amplitud que
depende de la diferencia de fases de oscilaciones constituyentes. Dos casos
particulares son de interés especial.
Cuando la diferencia de fases es igual a cero, la
amplitud de oscilación resultante es la suma de dos oscilaciones
constituyentes, 
. En esto caso se dice que tiene lugar la interferencia
constructiva de dos oscilaciones. Cuando la diferencia de fase es igual a 
, la amplitud de oscilación resultante es la resta de
amplitudes, 
. En esto caso se dice que la interferencia es destructiva
que se observa en zonas de “silencio” de ondas sobre la superficie de agua en
una cubeta con un vibrador electro mecánico de dos puntas de alambre como
fuentes de olas.
Composición de oscilaciones
perpendiculares entre sí
Explicar el concepto de polarización y figuras de Lisssajous a través de
composición de oscilaciones perpendiculares entre si, de la misma frecuencia y
frecuencias cuya razón es un numero racional.
Supongamos que un punto material
puede oscilar tanto a lo largo del eje x
como a lo largo del eje y de un
sistema de coordenadas cartesiano. Algunos ejemplos son: movimiento de un punto marcado de una cuerda tensada oscilante; un
punto luminoso de un osciloscopio electrónico; una masa sujetada de dos
resortes perpendiculares entre sí; onda electromagnética. Cuando generamos
ambas oscilaciones al mismo tiempo, el punto indicado moverá por una
trayectoria que, en general, será curvilínea y cuya forma depende de las
frecuencias y amplitudes de las oscilaciones constituyentes.
Consideremos un caso básico
cuando las oscilaciones perpendiculares entre sí son armónicas y de igual
frecuencia:
y 
,
(21)
donde 
es la diferencia de
fases. Estas dos expresiones describen la trayectoria de movimiento en forma
paramétrica, donde el tiempo t es un
parámetro. Para expresar la trayectoria en forma explicita, hay que excluir el
parámetro t de las Ecs. (21). Para
éste fin hacemos los siguientes transformaciones:
, por tanto, 
.
Después, 
.
Elevando la última ecuación a segundo grado, tenemos la trayectoria en
forma explicita:
.
(22)
En general, ésta es la ecuación de una elipse. La orientación y los valores
de sus semiejes dependen de las amplitudes A
y B y de la diferencia de fases . Determinemos la forma de la trayectoria para ciertos casos particulares.
Caso 1. Cuando la diferencia
de fases 
, la Ec. (21) toma el aspecto
, ó 
. (23)
La última ecuación es una recta con el pendiente (B/A). Tanto x como y son oscilaciones armónicas. Por tanto,
el movimiento resultante de la partícula es una oscilación armónica a lo largo
de dicha recta, con la frecuencia y la amplitud 
. (Véase la Figura 8a)
Caso 2. Cuando la diferencia de fases es 
, de Ec. (22) se tiene
, ó 
. (24)
El movimiento resultante, también es una oscilación armónica a lo largo de
la recta, Ec. (24), con la frecuencia y la amplitud , como en el caso anterior (véase Figura 8b).
Figura 8. Oscilaciones a lo largo de una
recta: a) 
, b)
Cuando
los elementos de un medio de propagación de ondas transversales oscilan de modo
similar al Caso 1 ó 2 se dice que dicha onda tiene la polarización plana. Esto comportamiento se observó claramente en varias
ocasiones al ver ondas estacionarias en la cuerda del Mini LAB.
Caso 3. Con 
, la Ec. (22) se convierte en la ecuación una elipse
, (25)
con semiejes iguales a las amplitudes A
y B de oscilaciones constituyentes.
Además, las semiejes están orientados a lo largo de los ejes x y y
(véase la Figura 9). Cuando 
, la elipse se degenera en la circunferencia del radio R.
Figura 9. La trayectoria elíptica de
movimiento oscilatorio.
Los casos 
, y 
, se distinguen por la dirección del movimiento. Para , las ecuaciones paramétricas, Ec. (21), pueden escribirse
del modo siguiente:
y 
. En el instante 
el cuerpo se encuentra en el punto 
. En los siguientes instantes la coordenada x disminuye, mientras que la coordenada y se hace negativa. Esto indica que el
movimiento transcurre en el sentido de las manecillas de reloj. De modo
semejante se obtiene que para el movimiento
transcurre en el sentido contrario de las manecillas de reloj.
Cuando
los elementos de un medio oscilan de modo similar al Caso 3 se dice que dicha
onda tiene la polarización elíptica
(o circular, cuando las amplitudes son iguales, A = B). Esto
comportamiento también se observó claramente al ver ondas estacionarias en la
cuerda del Mini LAB.
Caso 4. Cuando las frecuencias, 
y 
, de oscilaciones perpendiculares entre sí son diferentes y
su razón es un número racional, es decir 
donde n y m
son números naturales, las trayectorias del movimiento resultante son curvas
cerradas, bastante complicadas que reciben el nombre de figuras de Lissajous.
Por ejemplo, para 
y 
las ecuaciones
paramétricas de movimiento son y 
. La Figura 10a muestra la trayectoria correspondiente. Para y 
, es fácil de ver que la trayectoria degenera en una parábola
confinada, 
con 
, como se muestra en la Figura 10b. En este caso el movimiento
transcurre de un extremo a otro del parábola, semejante a un columpio. Recuerden que los dos tipos de trayectorias se
observaron en una cuerda del Mini LAB de Física, cuando en un plano de
oscilaciones se genera el primer modo normal y en el plano perpendicular se
genera el segundo modo normal de doble frecuencia.
Figura 10. Figuras de Lissajous: a) y ; b) y .
RESUMEN del CURSO a
través de un glosario de términos y conceptos aprendidos.
- Oscilaciones (vibraciones)
- Ondas y medio de propagación de
perturbaciones
- Péndulo matemático y el físico
- Frecuencia de oscilaciones y periodo
de una oscilación
- Fuerza restauradora como una razón
suficiente y necesaria de oscilaciones de un sistema
- Amortiguamiento o fricción en un
sistema oscilatorio, disminución de la amplitud de oscilaciones
- Fuerza externa como una fuente de
recuperación de energía perdida por un sistema oscilatorio a causa de
amortiguamiento
- Resonancia, el crecimiento de
amplitud de oscilaciones de un sistema en respuesta de una fuerza externa
armónica de frecuencia cercana a la frecuencia propia del sistema
- Interferencia constructiva y
destructiva de ondas como una consecuencia de composición de oscilaciones
del medio de la misma dirección y frecuencia
- Polarización de ondas, composición de
oscilaciones perpendiculares entre sí y de la misma frecuencia
- Figuras de Lissajous, composición de
oscilaciones perpendiculares entre sí y de frecuencias cuya razón es un
número racional
- ....