Cálculo III

(para las licenciaturas en matemáticas y computación)

Semestre Ago-Dic 2008

Facultad de Matemáticas, Universidad de Guanajuato

Profesor: Adolfo Sánchez Valenzuela [CIMAT-FAMAT]

Ayudantes del curso: Marco antonio Figueroa marcant@cimat.mx y Carlos Vargas Obieta carlosv@cimat.mx 

Introducción

El plan de estudios de la Facultad de Matemáticas contiene un tronco común de asignaturas que son fundamentales para todas las orientaciones que se ofrecen en las carreras de matemáticas. Dentro de este tronco común hay cuatro cursos básicos de cálculo diferencial e integral, de un semestre de duración cada uno. El curso de Cálculo III comprende, a grandes rasgos, el siguiente temario:

1. Funciones generles entre espacios vectoriales
2. Normas en espacios vectoriales
3. Nociones de topología en espacios vectoriales normados
4. Límites, continuidad y diferenciabilidad
5. Diferenciabilidad de funciones de una variable real con valores vectoriales
6. Aplicaciones: geometría diferencial de curvas en el plano y en el espacio

7. Diferenciabilidad de funciones de varias variables reales con valores en campo real.

8. Gráficas, curvas de nivel, campo gradiente, máximos y mínimos, multiplicadores de Lagrange

9. Aplicaciones: nociones de mecánica clásica y conservación de la energía

10. Diferenciabilidad de funciones de varias variables reales con valores vectoriales

11. Los teoremas de la función implícita y de la función inversa

12. Aplicaciones: subvariedades inmersas en espacios vectoriales
13.  Sucesiones, series y el teorema de Taylor

Libros de Referencia para la clase

[En clase se mencionará de cuál de estos textos se toma el material expuesto y de cuáles de ellos se preparan los ejercicios de tarea. Aquí se enlistan algunos de los más usados por el profesor]

[1] Marsden-Tromba. Calculus of vector functions

[2] Spivak. Calculus on manifolds

[3] Haser-LaSalle-Sullivan. Análisis Matemático, Vol. 2

[4] Williamson-Crowell-Troter. Calculus of vector functions

[5] Marsden. Elementary classical analysis

[6] Lass. Vector and tensor analysis

[7] Schey. Div, grad, curl, and all that

Organización del curso

El material del curso estará básicamente apoyado sobre los contenidos de los tres primeros libros de texto de la lista anterior. Sobre la marcha se asignarán también algunas lecturas especiales (disponibles en la biblioteca, o en internet) y se recomendará consultar las exposiciones de ciertos temas en otros libros. Es la intención del profesor mantener al día una página electrónica con la información del estado del curso (material cubierto en la semana, referencias especiales, lecturas recomendadas, problemas de tarea, etc. ¡Ojalá que pueda conseguirlo!)

Es responsabilidad de los alumnos aprender y dominar el temario y la mejor `receta' para conseguirlo es aprender a leer un libro de texto de matemáticas usando como brújula lo que se ha visto en clase. Esto significa, además de leer en un sentido literal, aprender a entender y a comprender el tema a través de la resolución de todos los ejercicios que contiene el libro. El papel del profesor será comparable al de un guía en un museo. El guía, guía; aunque también responde a las preguntas y profundiza según las necesidades de sus guiados (a juzgar por los resultados de las evaluaciones que se hacen a lo largo de la `visita al museo'), pero básicamente, la matemática se aprende trabajando en ella a través de lecturas y ejercicios con una buena `brújula' para no perderse. Desde luego, es responsabilidad del profesor ser una brújula confiable y propiciar de una manera eficaz el que los alumnos puedan desarrollar las habilidades que les permitan resolver problemas en forma concise y precisa. (He aquí un ejemplo de una situación evolutiva de los programas educativos en la que no quisiéramos caer; lo que queremos es que cada vez nuestros estudiantes sean más hábiles para resolver problemas y que cada vez sean más hábiles para manejar problemas `vestidos' de física, química, biología, economía, etc.).

Instrumentos de evaluación del curso

1. Tareas semanales (a entregar los jueves de cada semana)

2. Exámenes parciales

3. Un Examen final

Para tener derecho al examen final es preciso entregar (por escrito o en un archivo de formato PDF) un resumen de todo el curso. Es recomendable contar con un resumen antes de cada examen parcial.

Forma cualitativa de calificar las preguntas de las tareas y los exámenes

Cada pregunta de las tareas y de los exámenes se califica sobre una escala del 0 al 10; entenderemos que la pregunta está MAL respondida (M) si la calificación es menor o igual que 3. Entenderemos que está MEDIANAMENTE respondida (R) si la calificación está entre 4 y 7 ["medianamente" debe considerarse sinónimo de "mediocremente", o de "no ha estado bien"] y que está BIEN respondida (B) si la calificación es mayor o igual que 8. De cada tarea y de cada examen se tomará la terna (B,R,M) como un indicativo de la calificación. La calificación debe apreciarse en términos cualitativos, más que en términos numéricos. La tarea o el examen estará claramente APROBADA/O si B > R + M; observar que no necesariamente puede ser cierto que  ``si B + R > M entonces el examen o la tarea estará aprobado/a''; el contraejemplo es el de una tarea o examen en el que todas las preguntas hayan obtenido calificaciones menores o iguales a 5 (cinco); en un caso así, la calificación debe considerarse REPROBATORIA. El curso estará aprobado si la calificación del examen final satisface el criterio B > R + M. Estaremos publicando -en la página de alguna de las ayudantes del curso- algunas estadísticas obtenidas de las tareas y de los exámenes. 

Forma numérica de calificar el curso

El desempeño de cada alumno será calificado a través de M exámenes parciales espaciados entre sí, aproximadamente,

por tres semanas y media y por un examen final. Habrán tareas semanales que contribuirán en un X% a la calificación final

del curso. El (1-X)% proveniente de los exámenes consistirá en un `promedio pesado': los exámenes parciales contribuyen

con un Y% y el final con un Z%. Si P_i es el resultado de del examen parcial i (i=1, 2, ..., M), si F es el resultado del examen final y si T_a es el resultado de la tarea a (a=1, 2, ..., N), entonces, la calificación final del curso se podría calcular así:

$$

C=

X\,\left(

\frac{\sum_a T_a}{N}\right)

+

(1-X)\,

\left(

\,Y\,\left(

\frac{\sum_i P_i}{M}

\right)

+Z\,F\,

\right)

$$

Sin embargo, habrá ocasión de revisar nuevamente este método de evaluación. La revisión se hará usando las nociones de supremo e ínfimo, así como las nociones de función creciente y función decreciente aprendidas en el curso de cálculo I. Básicamente la idea de la reestructuración de la calificación es poder tomar en cuenta variables como `esfuerzo' y `aprendizaje'. En concreto, si las calificaciones de las tareas o de los exámenes parciales van en ascenso (ie, muestran un comportamiento `creciente'), el valor de la calificación asignada a estos rubros será el `SUP' de las calificaciones obtenidas en ellos y no el promedio. (De igual manera podría tomarse el `INF' de las calificaciones obtenidas en los exámenes parciales o en las tareas en lugar del promedio, si las calificaciones muestran un comportamiento `decreciente').

Si alguien quiere asomarse a la filosofía que el profesor de estas asignaturas tiene en relación a evaluar y calificar el trabajo de los alumnos y de los profesores, puede hacerlo aquí.

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Bitácora del curso

Primera semana de clases [4 - 8 de agosto]

Funciones de un espacio vectorial a un producto cartesiano de espacios vectoriales.

Proposición. Existe una biyección entre los conjuntos $(U\times W)^V$ y $(U)^V\times (W)^V$

Consecuencia: para entender las funciones $R^n \to R^m$ basta entender las funciones $R^n \to R$.

Primeros ejemplos: funciones $R \to R^2$ (curvas en el plano).
Ejemplo. $t \mapsto f(t)= ( cos(t) , sen(t) )$ describe un movimiento circular uniforme.
Aprovechamos el ejemplo para discutir qué sería necesario para calcular la derivada de $f$ en el punto $t$ y para observar que dicha derivada, $f'(t)$, se puede visualizar como el vector tangente a la trayectoria en el punto $f(t)$.

Límites. La noción de límite depende fuertemente de la noción de distancia entre dos puntos.
Dfn. Una norma en un espacio vectorial $V$ es una función $N:V \to R$ que satisface ...
Ejemplos de normas.