Introducción

• K es acotado
• K es cerrado, es decir, si tomamos una sucesión {P_n} de puntos en K tal que P_n-> z, entonces z pertenece a K.

El espacio de Hausdorff es el conjunto H de todos los fractales del plano. La distancia (de Hausdorff) h entre dos fractales K y L se define como el número r positivo más pequeño tal que K es un subconjunto de (L + r) y L es un subconjunto de (K + r), donde (K + r) es la unión de todos los discos de radio r con centro en cada punto de K.

Sea f una transformación del plano. Decimos que f es una contracción si existe un número C < 1 tal que para todo par de puntos p, q la distancia entre f(p) y f(q) es a lo más C veces la distancia entre p y q.

Sean f₁, f₂, ..., f_n contracciones del plano. Definimos F: H-> H dada por F(K) la unión de las imágenes de K bajo f₁, f₂, ... y f_n. Entonces F es una contracción en el espacio de Hausdorff.

Teorema:
Dada una contracción F existe un y sólo un punto fijo de F que se puede encontrar tomando cualquier punto e iterando la transformación un número infinito de veces.

En éste se pueden introducir hasta seis transformaciones (contracciones) del plano, que determinan una contracción F de Hausdorff. Cada transformación consiste en una rotación, una contracción (multiplicación por un escalar 0 < r < 1) y una traslación (x,y) (con ¦x¦< 200 y ¦y¦< 200), en ese orden.

El "punto" con el que se inicia la iteración de F es un cuadrado de lado 50, 100, 150, 200, 250 ó 300 y el número de veces que se itera la contracción de Hausdorff varía entre 0 y 10 (a éste se le llama resolución).

El programa contiene también algunas contracciones predeterminadas cuyos puntos fijos son fractales conocidos.

ĦĦĦAhora te invitamos a experimentar con el programa e inventar tus propios fractales!!!

Si quieres un poco más de información sobre este tipo de transformaciones, consulta las notas de Luis Hernández Lamoneda en (postscript):