Teoria de numeros y sistemas dinamicos (segun Arnold, en su libro "mathematical methods of classical mechanics").

Consideramos la sucesión 2,4,8,1,3,6,1,2,5,1,....

Ya agarraron la "regla"?

Son los primeros dígitos de las potencias de 2.

Pregunta: si seguimos con esta sucesión indefinitivamente, ¿aparece 7 eventualmente?

Pues resulta que sí. El 46vo término de la sucesión es 7 (o sea 2 a la 46 empieza con 7).

Otra pregunta: ¿aparece el 7 otra vez? en caso que sí, ¿cuántas veces más? y ¿quién aparece "más" en la sucesión, 7 u 8 ?

Para esto hacemos lo siguiente: considerarmos los primeros digamos 50 términos de la sucesión y contamos cuantos de ellos son 7 y cuantos son 8. Respuesta: 1 y 5 respectivamente.

Luego hacemos lo mismo con los primeros cien términos. Respuesta: 6 y 5 respectivamente.

Luego lo mismo con los primeros mil términos (56 y 52), luego 10 mil (579 y 512), 100 mil (5797 y 5116), etc.

Estas cuentas sugieren las conjeturas siguientes: que tanto 7 como 8 aparecen una infinidad de veces en la sucesión; que aproximadamente 5.8% de los términos son 7 y que aprox 5.1% son 8, así que 7 aparece "más" que 8.

¿Cómo explicamos todo esto?

Ejercicio: sea k uno de los números 1,2,3,...,9. Demuestra que k aparece en el N-simo lugar de la sucesión si y solo si la parte fracciónal de N log(2) (logaritmo en base 10) está en el intervalo [log(k), log(k+1)).

(Nota: la parte fraccional de un número positivo es "lo que viene despues del punto decimal"; por ejemplo, la parte fraccional de 3.5 es 0.5, de 7 es 0, de 22/7 es 1/7, de la raiz de 2 es 0.41... = la raiz de 2 menos 1).

(Otra nota: la condición que aparece en el ejercicio tiene una reformulación geométrica bonita que vamos a ver en la clase en términos de un sistema dinámico sobre el círculo).

Ahora entra al escenario un teorema clásico de varios matemáticos (Dirichlet, Weyl, ....): si uno toma un número irracional (como lo es log(2)), entonces la parte fracciónal de sus múltiplos es DENSA en el intervalo [0,1], y ademas es UNIFORMAMENTE densa.

(En la clase definimos con precisión los conceptos "denso" y "uniformamente denso".)

Este teorema tiene tambien una generalización moderna importante dentro de la llamada Teoría Ergódica (una rama importante de la teoría de sistemas dinámicos).

La primera parte del teorema ("denso") es relativamente facil de demostrar (ejercicio!) pero ya demuestra que cada uno de los 9 digitos 1,2,...,9 aparece una infinidad de veces en la sucesión! (tambien demuestra que hay una infinidad de potencias de 2 que empiezan con 1957.)

(Y por cierto, demostrar que log(2) es irraciónal es facil, aún mas facil que demostrar que la raiz de 2 es irraciónal.)

La segunda parte del teorema ("uniformamente denso") es bastante mas profunda y te permite calcular inmediatamente las frecuencias de ocurrencia de 7 y 8 en la sucesión (log 8/7 y log 9/8 respectivamente).

La mejor demostración que conozco de esta 2nda parte del teorema viene de la teoría de Serie de Fourier (descripción de funciónes usando senos y cosenos).

Mi amigo el matemático Vitaly Bergelson de Columbus Ohio es un gran experto en la Teoría Ergódica y me contó que el mismo fenómeno ocurre con la sucesión 2,3,5,7,1,1,1,1,2,2,3,... (los primeros dígitos de la sucesión de los primos). No sé todavía como lo demuestra pero se me hace de lo mas sorprendente y maravilloso.