Teoría de números, Viba, 18 Nov. 97

Algunos retos (num.1)

1. ¿Cual es el multiple maximal de 13 menor que 1997?

2. Cuantos lotes (enteros) de 120 metros cuadrados caben en un tereno de 29 hectarias (290 mil metros cuadrados)? ¿Cuanto queda del tereno despues de haberlo quitado este número de lotes?

3. El número de divisores positivos de un entero positivo n se denota por ϕ(n) (se lee “fi de n’’). Por ejemplo,

ϕ(1) = 1, ϕ(2) = 2, ϕ(3) = 2, ϕ(4) = 3, ϕ(5) = 2, ϕ(6) = 4, …

Haz una lista de los valores de ϕ(n) para todo n hasta 50.

Nota: Se puede hacer este problema sin pensar mucho, nada mas trabajando duro. Esto es aburrido. Sin embargo, se puede usar varios atajos interesantes. Por ejemplo, es útil encontrar primero los números primos en este rango (los que tienen como divisores solamente 1 y su mismo, así que tienen ϕ = 2). Luego se puede notar que si p es un primo entonces ϕ(p^{2}) = 3, ϕ(p^{3}) = 4, ...etc, y para dos primos distintos p y q siempre ϕ(pq) = ϕ(p)ϕ(q). De esta manera, descubriendo reglas adicionales de este tipo, se puede completar la lista fácilmente empezando con los primos en este rango.

4. a) Demuestra que si m y n no tienen divisores comunes (mas que 1) entonces ϕ(mn) = ϕ(m)ϕ(n). Verfique este teorema para algunos valores de m y n en la lista del problema anterior, eg para m = 4, n = 9.

b)^{∗} ¿Será cierto el converso del inciso anterior? o sea, ¿es cierto que siempre cuando ϕ(mn) = ϕ(m)ϕ(n) entonces m y n no tienen divisores comunes (mas que 1)?