 \documentstyle[12pt,spaccent]{article}
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\newcommand{\p}{\mbox{'}}
\newcommand{\bs}{\bigskip}
\newcommand{\ms}{\medskip}
\def\mod#1{ \,\,\,(\hbox{mod }{#1})}


\begin{document}
\specialaccent

\rightline{Teor'ia de n'umeros, Viba, 18 Nov. 97}
\bs\bs
{\bf Algunos retos (num.1)}

\bs\bs
\n 1. ?`Cual es el m'ultiplo maximal de 13 menor que 1997?

\bs\bs\n 2. Cuantos lotes (enteros) de 120 metros cuadrados caben en un tereno
de 29 hectarias (290 mil metros cuadrados)? ?`Cuanto queda del tereno
despues de haberlo quitado este n'umero de lotes?

\bs\bs\n 3. El n'umero de divisores positivos de un entero positivo $n$ se denota por
$\phi(n)$ (se lee ``fi de $n$''). Por ejemplo,
$$
\phi(1)=1, \phi(2)=2, \phi(3)=2,  \phi(4)=3, \phi(5)=2,
\phi(6)=4,\ldots$$

Haz una lista de  los valores de $\phi(n)$ para todo $n$ hasta 50.

\bs\bs\n Nota: Se puede hacer este problema sin pensar mucho, nada mas
trabajando duro. Esto es aburrido. Sin embargo, se puede usar varios atajos
interesantes. Por ejemplo, es 'util encontrar primero los n'umeros
{\em primos} en este rango (los que tienen como divisores solamente 1
y su mismo, as'i que tienen $\phi=2$). Luego se puede notar que si $p$
es un primo entonces $\phi(p^2)=3$,  $\phi(p^3)=4$, ...etc, y para dos
primos distintos $p$ y $q$ siempre
$\phi(pq)=\phi(p)\phi(q)$. De esta manera, descubriendo reglas
adicionales de este tipo, se puede completar la lista f'acilmente
empezando con los primos en este rango. 

\bs\bs\n 4. a) Demuestra que si $m$ y $n$ no tienen divisores comunes (mas
que 1) entonces $\phi(mn)=\phi(m)\phi(n)$. Verfique este teorema para
algunos valores de $m$ y $n$ en la lista del problema anterior, eg
para $m=4$, $n=9$. 

\bs\n b$)^*$ ?`Ser'a cierto el {\em converso} del inciso anterior? o sea, 
?`es cierto que siempre cuando $\phi(mn)=\phi(m)\phi(n)$ entonces $m$ y
$n$ no tienen divisores comunes (mas que 1)?  

\end{document}
