Teoría de números, Viba, 25 Nov. 97

Algunos retos (num.2)

1. a) Demuestra que \sqrt{6} no es un número racional (i.e. no es de la forma a/b, con a y b enteros).

b)^{∗} Demuestra que si n es un número entero positivo no cuadrado, (o sea no pertenece a la lista 1,4,9,16,....), entonces \sqrt{n} no es un número racional.

2. Sean a, b y c tres números enteros. Demuestra lo siguiente:

a) a|b, b|c ⟹ a|c,

b) a|b ⟹ ac|bc,

c) a|b, a|c ⟹ a| (bm + cn), para todo m, n enteros.

(La notación a|b significa “a divide a b’’, y la notación “A ⟹ B’’ significa “el hecho A implica el hecho B’’).

3. Un número entero n se llama perfecto si es igual a la suma de sus divisores positivos menores que n. Por ejemplo 6 = 1 + 2 + 3 es perfecto.

a) Encuentra un número perfecto mayor que 6.

b)^{∗} Encuentra dos números perfectos mayores que 6.

4. a) Demuestra que el número de primos de la forma 4k + 3 es infinito.

(Sugerencia: si p_{1}, p_{2}, … es una lista (finita) de primos de esta forma puedes considerar al número N = 4p_{1}p_{2} … + 3. Si N es primo es un primo nuevo de la forma deseada, y si no, es un producto de primos, digamos N = q_{1}q_{2} . . .. Ahora demuestra que (i) ninguno de los primos “viejos’’ p_{1}, p_{2}, … divide a N, así que los q_{1}, q_{2}, … son todos “nuevos’’, y (ii) los primos “nuevos’’ q_{1}, q_{2}, … no pueden ser todos de la forma 4k + 1, así que uno de ellos por lo menos es de la forma 4k + 3; para eso, demuestra que el producto de números de la forma 4k + 1 es de la misma forma.)

b)^{∗} Demuestra que el número de primos de la forma 4k + 1 es infinito.