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\def\mod#1{ \,\,\,(\hbox{mod }{#1})}


\begin{document}
\specialaccent

\rightline{Teor'ia de n'umeros, Viba, 25 Nov. 97}
\bs\bs
{\bf Algunos retos (num.2)}

\bs\bs
\n 1. a) Demuestra que $\sqrt{6}$ no es un n'umero racional (i.e. no es de la forma
$a/b$, con $a$ y $b$ enteros). 

\ms\n b$)^*$ Demuestra que si $n$ es un n'umero entero positivo no cuadrado,
(o sea no pertenece a la lista 1,4,9,16,....), entonces $\sqrt{n}$ no es
un n'umero racional.

\bs\bs\n 2. Sean $a$, $b$ y $c$ tres n'umeros enteros. Demuestra lo
siguiente:

\ms
a) $a|b, b|c \Longrightarrow a|c,$

b) $a|b \Longrightarrow ac|bc,$


c) $a|b, a|c \Longrightarrow a|\,(bm + cn)$, para todo $m,n$
enteros.

\ms\n(La notaci'on $a|b$ significa ``$a$ divide a $b$'', y la notaci'on ``A
$\Longrightarrow$ B'' significa ``el hecho A implica el hecho B'').

\bs\bs\n 3. Un n'umero entero $n$ se llama {\em perfecto} 
si es igual a la suma de sus divisores positivos menores que $n$. Por
ejemplo $6=1+2+3$ es perfecto. 

\ms\n a) Encuentra un n'umero perfecto mayor que
6. 

\ms\n b$)^*$ Encuentra dos n'umeros perfectos mayores que
6.

\bs\bs\n 4. a) Demuestra que el n'umero de primos de la forma $4k+3$ es
infinito.

\ms\n (Sugerencia: si $p_1, p_2, \ldots$ es una lista (finita) de primos
de esta forma puedes considerar al n'umero $N=4p_1p_2\ldots
 + 3$. Si
$N$ es primo es un primo nuevo de la forma deseada, y si no, es un
producto de primos, digamos $N=q_1q_2\ldots$. Ahora demuestra que (i)
ninguno de los primos ``viejos'' $p_1, p_2, \ldots$ divide a $N$, as'i
que los $q_1, q_2, \ldots$ son todos ``nuevos'', y (ii) los primos
``nuevos'' $q_1, q_2, \ldots$ no pueden ser {\em todos} de la forma $4k+1$,
as'i que uno de ellos por lo menos es de la forma $4k+3$; para eso,
demuestra que el producto de n'umeros de la forma $4k+1$ es de la
misma forma.)

\ms\n b$)^*$ Demuestra que el n'umero de primos de la forma $4k+1$ es
infinito.


\end{document}
