Teoría de números, Viba, 2 Dic. 97

Algunos retos (num.3)

1. Demuestra las siguientes propiedades de la relación de congruencia (ver las notas del curso, página 16, para un ejemplo de tal demostración):

(i) a ≡ b  ⟹ b ≡ a,
(ii) a ≡ b, b ≡ c ⟹ a ≡ c,
(iii) a ≡ b  ⟹ ka ≡ kb, para cualquier k,
(iv) a ≡ a’, b ≡ b’ ⟹ a + b ≡ a’ + b’ y ab ≡ a’b’.

2. Construye tablas de adición y multiplicación módulo 7,8 y 12.

Nota: este problema es otro del tipo que se puede hacer sin pensar mucho, con puro trabajo duro (y sin aprender mucho). Obviamente, no es la idea, sino intentar encontrar atajos y reglas que pueden ahorrar trabajo. Por ejemplo, puedes notar que 8 ≡ −1 (mod 9), así que en la tabla de multiplicación módulo 9, la linea de 8 es congruente a −1, −2, −3, ..., −8, o sea la linea es 8, 7, 6, ..., 1.

3. Encuentra los resíduos invertibles modulo 12 (los números n que poseen una inversa, o sea un x que satisface nx = 1 (mod 12)). Por su puesto, se puede usar la tabla de multiplicación módulo 12 del problema anterior.

4. ¿Existe entre los números

3, 9, 27, …, 3^{k}, …

uno que se termina con … 01? ¿uno que se termina con … 001? ¿con cien 0’s y un 1 ?