 \documentstyle[12pt,spaccent]{article}
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\newcommand{\p}{\mbox{'}}
\newcommand{\bs}{\bigskip}
\newcommand{\ms}{\medskip}
\def\mod#1{ \,\,\,(\hbox{mod }{#1})}


\begin{document}
\specialaccent

\rightline{Teor'ia de n'umeros, Viba, 2 Dic. 97}
\bs\bs
{\bf Algunos retos (num.3)}

\bs\bs
\n 1. Demuestra las siguientes propiedades de la relaci'on de
congruencia (ver las notas del curso, p'agina 16, para un ejemplo 
de tal demostraci'on):
$$\begin{array}{llcl}
(i)& a\equiv b&\Longrightarrow &b\equiv a,\\
 (ii)& a\equiv b, b\equiv c&\Longrightarrow & a\equiv c,\\
(iii)& a\equiv b&\Longrightarrow& ka \equiv kb,\mbox{ para cualquier $k$,}\\
(iv)& a\equiv a\p ,b\equiv b\p &\Longrightarrow& a+b\equiv a\p +
 b\p\quad\mbox{y}\quad ab\equiv a\p b\p .
\end{array}
$$

\bs\bs\n 2. Construye tablas de adici'on y multiplicaci'on m'odulo 7,8 y
12.  

\bs\bs\n Nota: este problema es otro del tipo que se puede hacer
sin pensar mucho, con puro trabajo duro (y sin aprender mucho).
Obviamente, no es la idea, sino intentar encontrar atajos y reglas
que pueden ahorrar trabajo. Por ejemplo, puedes notar que $8 \equiv
-1\mod 9$, as'i que en la tabla de multiplicaci'on m'odulo 9, la linea de
8 es congruente a $-1, -2,-3, ...,-8$, o sea la linea es
$8,7,6,...,1$.

\bs\bs\n 3. Encuentra los res'iduos invertibles modulo 12 (los
n'umeros $n$ que poseen una {\em inversa}, o sea un $x$ que satisface
$nx=1 \mod {12}$). Por su puesto, se puede usar
la tabla de multiplicaci'on  m'odulo 12 del problema anterior. 


\bs\bs\n 4. ?`Existe entre los n'umeros 
$$3,9,27,\ldots,3^k,\ldots$$
uno que se termina  con $\ldots 01$? ?`uno que se termina con $\ldots 001$?
?`con cien $0\p$s y un $ 1 $ ?



\end{document}
