Algebra Superior, 16.12.99

Examen Final

Hay que resolver 4 de los siguientes 5 problemas. Si resuelves todos los 5 problemas solo se considera tus mejores 4.

Duración del examen: 3 horas.

1. Sean A y B dos conjuntos.

(a) Define: f : A → B es una función inyectiva.

(b) Define: A y B tienen la misma cardinalidad.

(c) Demuestra: si f : A → B es inyectiva entonces existe un subconjunto de B con la misma cardinalidad de A.

2. Encuentra el número de subconjuntos con 95 elementos de un conjunto con 100 elementos.

3. Demostrar el “Pequeño teorema de Fermat” : a^{p} ≡ a (mod p) para todo entero a y primo p.

4. Sea x = [a, b, c, a, b, c, a, b, c, …] la expansión en fracción contínua de un número real, con a, b, c enteros positivos (expansión periódica). Demuestra que

(a) x es un número irracional.

(b) x es de la forma α + \sqrt{β}, con α, β racionales.

5. Sea n un entero positivo y A_{n} = {z ∈ ℂ | z^{n} = 1}.

(a) Encuentra el número de elementos de A_{n}.

(b) Para un z ∈ A_{n} definimos su orden como el mínimo entero positivo e que satisface z^{e} = 1. Demuestra que el orden de z divide a n.

(c) Encuentra el número de elementos de orden 100 en A_{100}.

(d) (opcional) Encuentra el número de elementos de orden 25 en A_{100}.