Algebra Superior, 18.1.2000

Examen Final

(segunda vuelta)

Hay que resolver 4 de los siguientes 5 problemas. Si resuelves todos los 5 problemas solo se considera tus mejores 4. Duración del examen: 3 horas.

1. (a) Define: f : A → B es una función inyectiva.

(b) Define: f : A → B es una función suprayectiva.

(c) Define: f : A → B es una función biyectiva.

(d) Demuestra: si f : A → B y g : B → C son dos funciones tal que g ∘ f es biyectiva, entonces f es inyectiva y g es suprayectiva.

(e) Formular el converso al inciso anterior y decidir si es cierto o no. En caso que sea

cierto – hay que demostrarlo, en caso que no – hay que encontrar un contra-ejemplo.

2. (a) Define: p(x) es un polinomio con coeficientes reales.

(b) Define: a es una raiz de p(x).

(c) Demuestra: un polinomio no nulo con coeficientes reales tiene un número finito de

raices.

3. (a) Define: p es un número primo.

(b) Demuestra: el conjunto de números primos es infinito.

(c) Demuestra: el conjunto de números primos de la forma 4k + 3 es infinito.

4. Sea n un entero mayor que 1 y a un entero.

(a) Define: a es invertible (mod n).

(b) Define: a es primo relativo a n.

(c) Demuestra: a es invertible (mod n) si y solo si es primo relativo a n.

(d) Encontrar una inversa (mod 9) de 2^{1000}.

5. Calcular los siguientes números complejos (expresar en la forma a + ib con a, b ∈ ℝ):

(a) 1/(1 + i)

(b) (1 + i)^{3}

(c) (1 + i)^{4}/(1 − i)^{6}