Algebra Superior, 16.11.99

Examen Parcial num. 2

Sean a, b y n enteros con n > 1.

1. Define:

(a) a es primo relativo a n.

(b) b ≡ a (mod n).

(c) a es invertible mod n.

2. Demuestra:

(a) a es invertible mod n si y solo si es primo relativo a n.

(b) Si b ≡ a (mod n), entonces a es invertible mod n si y solo si b es invertible mod n.

3. (a) Encuentra todos los enteros invertibles mod 9.

(b) Sea ϕ(n) la función de Euler (el número de residuos invertibles mod n.) Encuentra

ϕ(100).

4. (a) Supón que a es primo relativo a n. Define: el orden de a (mod n).

(b) Demuestra: el orden de a (mod n) divide a ϕ(n). (Nota: se peude usar el teorema de Euler: a^{ϕ(n)} ≡ 1 (mod n).)

(c) Encuentra el orden de 3 (mod 100).

5. (Opcional, solo si te queda tiempo). Sea n libre de cuadrados (no lo divide ningun entero de la forma k^{2}). Demuestra que N_{1} ≡ N_{2} (mod ϕ(n)) implica a^{N_{1}} ≡ a^{N_{2}} (mod n).